Exercice 11

Soient les applications $h$ et $k$ définies sur $\mathbb{R}$ par

$h(x) = x^{2} - 9$
$k(x) = 0$

Représentez graphiquement ces applications et cherchez pour quels $x$ on a $h(x) = k(x)$.

Réponse

Les graphes de $h(x) = x^2 - 9$ et $k(x) = 0$ se croisent aux points $x = -3$ et $x = 3$. Les solutions de $h(x) = k(x)$ sont donc $x = -3$ et $x = 3$.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons analyser les applications $h$ et $k$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

$h(x) = x^{2} - 9$
$k(x) = 0$

L’objectif est de représenter graphiquement ces applications et de déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $h(x) = k(x)$.

1. Analyse des fonctions

Fonction $h(x) = x^{2} - 9$ :

Il s’agit d’une fonction polynomiale du second degré, également appelée parabole. La forme générale est $ax^{2} + bx + c$, où ici $a = 1$, $b = 0$ et $c = -9$.
- Ouverture de la parabole : Comme $a = 1 > 0$, la parabole est orientée vers le haut.
- Sommet de la parabole : Le sommet se trouve au point $(h, k)$, où : \[ h = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \times 1} = 0 \] \[ k = h(0) = 0^{2} - 9 = -9 \] Ainsi, le sommet est en $(0, -9)$.
- Intersections avec l’axe des abscisses (x) : Pour trouver les racines de la fonction $h(x)$, on résout l’équation $h(x) = 0$ : \[ x^{2} - 9 = 0 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \] Donc, les points d’intersection sont $(-3, 0)$ et $(3, 0)$.
Fonction $k(x) = 0$ :

Il s’agit d’une fonction constante. Son graphe est une droite horizontale parallèle à l’axe des abscisses (x) passant par $y = 0$, c’est-à-dire l’axe des abscisses lui-même.

2. Représentation graphique

Pour représenter graphiquement les fonctions $h$ et $k$ sur un même repère, procédons comme suit :

Tracer la parabole $h(x) = x^{2} - 9$ :
- Marquer le sommet en $(0, -9)$.
- Marquer les points d’intersection avec l’axe des abscisses en $(-3, 0)$ et $(3, 0)$.
- Tracer la parabole ouverte vers le haut passant par ces points.
Tracer la droite $k(x) = 0$ :
- Il s’agit de l’axe des abscisses lui-même.

Graphique :

[ \[\begin{array}{c} \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \draw[->] (-5,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-10) -- (0,5) node[above] {$y$}; % Parabola h(x) = x^2 -9 \draw[domain=-4:4, smooth, variable=\x, blue, thick] plot ({\x}, {\x*\x -9}); % Axes intersections \fill (3,0) circle (2pt) node[below right] {$(3,0)$}; \fill (-3,0) circle (2pt) node[below left] {$(-3,0)$}; % Vertex \fill (0,-9) circle (2pt) node[below left] {$(0,-9)$}; % x-axis \draw[red, thick] (-5,0) -- (5,0); % Labels \node at (4, 10) [blue] {$h(x) = x^{2} - 9$}; \node at (4, -1) [red] {$k(x) = 0$}; \end{tikzpicture} \end{array}\]

]

Remarque : La courbe bleue représente $h(x)$ et la droite rouge représente $k(x)$. Les points d’intersection sont indiqués.

3. Recherche des valeurs de $x$ où $h(x) = k(x)$

Pour trouver les valeurs de $x$ telles que $h(x) = k(x)$, nous devons résoudre l’équation :

\[ h(x) = k(x) \Rightarrow x^{2} - 9 = 0 \]

Étapes de résolution :

Isoler le terme en $x$ : \[ x^{2} - 9 = 0 \Rightarrow x^{2} = 9 \]
Résoudre l’équation : \[ x^{2} = 9 \Rightarrow x = \sqrt{9} \text{ ou } x = -\sqrt{9} \] \[ \Rightarrow x = 3 \text{ ou } x = -3 \]

Conclusion :

Les valeurs de $x$ pour lesquelles $h(x) = k(x)$ sont $x = -3$ et $x = 3$. Ces solutions correspondent aux points d’intersection des deux graphes, comme représenté sur le graphique ci-dessus.

Récapitulatif

Graphes : La parabole $h(x) = x^{2} - 9$ croise l’axe des abscisses en $x = -3$ et $x = 3$, et le graphe de $k(x) = 0$ est l’axe des abscisses.
Solutions de $h(x) = k(x)$ : $x = -3$ et $x = 3$.

Ces résultats sont cohérents avec la représentation graphique des fonctions.