Exercice 10

Représentez graphiquement la fonction \(f\), définie pour \(-2 \leq x \leq 2\) par \[ f(x) = -x^{3}. \]

Réponse

Tracer les points (–2, 8), (–1, 1), (0, 0), (1, –1) et (2, –8) sur des axes, puis relier ces points par une courbe lisse. La fonction f(x) = –x³ étant impaire et strictement décroissante sur [–2; 2], la courbe est symétrique par rapport à l’origine.

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée pour représenter graphiquement la fonction f définie sur l’intervalle [-2; 2] par f(x) = –x³.

1. Définition de la fonction et domaine
   On considère la fonction f définie par f(x) = –x³. La variable x est comprise entre –2 et 2, c’est-à-dire que nous allons tracer la courbe pour tous les x tels que –2 ≤ x ≤ 2.

2. Calcul de quelques points représentatifs
   Pour tracer la courbe, il est utile de calculer la valeur de f(x) pour plusieurs valeurs de x dans l’intervalle.

 a) Pour x = –2
  f(–2) = –(–2)³ = –(–8) = 8
  On obtient le point (–2 ; 8).

 b) Pour x = –1
  f(–1) = –(–1)³ = –(–1) = 1
  On obtient le point (–1 ; 1).

 c) Pour x = 0
  f(0) = –(0)³ = 0
  On obtient le point (0 ; 0).

 d) Pour x = 1
  f(1) = –(1)³ = –1
  On obtient le point (1 ; –1).

 e) Pour x = 2
  f(2) = –(2)³ = –8
  On obtient le point (2 ; –8).

3. Étude de la symétrie
   Observons que la fonction f(x) = –x³ est une fonction impaire, c’est-à-dire que f(–x) = –f(x).
    - Vérification :
     f(–x) = –(–x)³ = –(–x³) = x³
     D’autre part, –f(x) = –(–x³) = x³
     Donc bien, f(–x) = –f(x).
   Cela signifie que la courbe est symétrique par rapport à l’origine. On pourra en tenir compte lors du tracé.

4. Représentation graphique
   

1. Tracez deux axes perpendiculaires : l’axe horizontal (l’axe des abscisses) et l’axe vertical (l’axe des ordonnées).
   
2. Repérez l’intervalle de x allant de –2 à 2 sur l’axe horizontal.
   
3. Placez les points que nous avons calculés :
    - (–2 ; 8)
    - (–1 ; 1)
    - (0 ; 0)
    - (1 ; –1)
    - (2 ; –8)
   
4. Reliez ces points avec une courbe lisse.
   La nature cubique de la fonction implique que la courbe va « s’incliner » fortement :
    - Pour des valeurs négatives de x, les valeurs de f(x) sont positives et augmentent rapidement (comme on voit avec (–2 ; 8)).
    - Pour des valeurs positives de x, les valeurs de f(x) sont négatives et décroissent rapidement (comme (2 ; –8)).
   
5. N’oubliez pas de dessiner une courbe qui passe par l’origine et qui respecte la symétrie par rapport à l’origine.

5. Analyse du comportement de la fonction
   La fonction étant donnée par f(x) = –x³, elle est strictement décroissante sur [-2; 2]. Cela signifie que lorsque x augmente, f(x) diminue.
   De plus, la forme de la fonction (une courbe cubique) implique que la pente de la courbe n’est pas constante.
    - Près de x = 0, la courbe change de direction doucement.
    - Pour x proches de –2 et de 2, la courbe s’éloigne rapidement de l’origine.

En conclusion, pour représenter la fonction sur l’intervalle [-2; 2], tracez d’abord les axes, marquez les valeurs importantes en abscisses et ordonnées, puis placez les points calculés : (–2,8), (–1,1), (0,0), (1, –1) et (2, –8). Reliez ces points en une courbe lisse qui respecte la symétrie par rapport à l’origine et reflète le comportement décroissant et la nature cubique de la fonction f(x) = –x³.