On considère les applications suivantes, toutes définies sur \(\mathbb{R}\) :
\(f(x) = x^{2} - 2x + 1\)
\(g(x) = 3x - 3\)
\(h(x) = x^{3} + 2\)
\(k(x) = |x|\)
Déterminer, parmi ces applications, celles dont la représentation graphique passe par le point \(P(-1\, ;\, 1)\).
Faire de même pour les points \(R(-1\, ;\, 0)\) et \(S(1\, ;\, 0)\).
P(-1 ; 1) : h et k.
R(-1 ; 0) : aucune.
S(1 ; 0) : f et g.
Nous avons quatre applications définies sur ℝ et nous devons déterminer lesquelles d’entre elles ont leur représentation graphique passant par des points donnés.
| 1) Rappel des fonctions : |
|---|
| PARTIE A – Déterminer, parmi ces applications, celles dont la représentation graphique passe par le point P(–1 ; 1). |
| Pour cela, pour chaque fonction, nous allons vérifier que lorsque x = –1, la valeur de la fonction est égale à 1. |
| 1. Pour f(x) = x² – 2x + 1 On remplace x par –1 : f(–1) = (–1)² – 2·(–1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 Or, 4 ≠ 1. La représentation de f ne passe donc pas par le point P. |
| 2. Pour g(x) = 3x – 3 g(–1) = 3·(–1) – 3 = –3 – 3 = –6 –6 ≠ 1, donc g ne convient pas. |
| 3. Pour h(x) = x³ + 2 h(–1) = (–1)³ + 2 = –1 + 2 = 1 Cela correspond exactement à la coordonnée y du point P. On retient donc h. |
| 4. Pour k(x) = |x| k(–1) = |–1| = 1 Cela correspond aussi à la coordonnée y du point P. On retient k. |
| Conclusion de la partie A : Les fonctions h et k passent par le point P(–1 ; 1). |
PARTIE B – Déterminer, parmi ces applications, celles dont la représentation graphique passe par les points R(–1 ; 0) et S(1 ; 0).
On procédera de façon similaire en substituant x = –1 pour R et x = 1 pour S.
• Pour le point R(–1 ; 0) :
f(x) = x² – 2x + 1
f(–1) = (–1)² – 2·(–1) + 1
= 1 + 2 + 1 = 4 (et 4 ≠ 0)
g(x) = 3x – 3
g(–1) = 3·(–1) – 3
= –3 – 3 = –6 (–6 ≠ 0)
h(x) = x³ + 2
h(–1) = (–1)³ + 2
= –1 + 2 = 1 (1 ≠ 0)
k(x) = |x|
k(–1) = |–1|
= 1 (1 ≠ 0)
Aucune des fonctions ne donne 0 lorsque x = –1. Ainsi, aucune représentation graphique parmi celles proposées ne passe par le point R(–1 ; 0).
• Pour le point S(1 ; 0) :
f(x) = x² – 2x + 1
f(1) = (1)² – 2·(1) + 1
= 1 – 2 + 1
= 0
C’est bien 0, donc f passe par S.
g(x) = 3x – 3
g(1) = 3·(1) – 3
= 3 – 3
= 0
g passe également par S.
h(x) = x³ + 2
h(1) = 1³ + 2
= 1 + 2
= 3 (3 ≠ 0)
k(x) = |x|
k(1) = |1|
= 1 (1 ≠ 0)
Conclusion pour S : Les fonctions f et g passent par le point S(1 ; 0).
Récapitulatif des réponses :
• Pour le point P(–1 ; 1) : Les fonctions h et k passent par ce
point.
• Pour le point R(–1 ; 0) : Aucune fonction ne passe par ce point.
• Pour le point S(1 ; 0) : Les fonctions f et g passent par ce
point.
Cette analyse détaillée permet de vérifier pour chacune des applications si la condition “y = valeur donnée” est bien satisfaite pour le x correspondant aux différents points donnés.