Exercice 8

Question : Définissons la fonction \(f\) de la manière suivante pour tout nombre \(x\) :

1. Ajoute \(4\) à \(x\).
2. Calcule le carré de la somme obtenue.

a. Complète le tableau de valeurs suivant.

\(x\)	-4	-1	2	5	6	\(\sqrt{3}\)
\(f(x)\)

b. Quelle est l’image de \(2\) par \(f\) ?

c. Donne une préimage de \(49\) par \(f\).

Réponse

1. Le tableau complété est :   x : -4, -1, 2, 5, 6, √3
     f(x) : 0, 9, 36, 81, 100, 19 + 8√3

2. f(2) = 36

3. Une préimage de 49 est 3.

Corrigé détaillé

Nous avons la fonction f définie par la règle suivante : on ajoute 4 au nombre x, puis on élève le résultat au carré. Autrement dit, pour tout nombre x, on a :

  f(x) = (x + 4)²

Nous allons résoudre chaque question étape par étape.

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1. Compléter le tableau de valeurs

Pour chaque valeur de x, on calcule f(x) = (x + 4)².

1. x = –4
     Calcul :
      f(–4) = (–4 + 4)² = 0² = 0

2. x = –1
     Calcul :
      f(–1) = (–1 + 4)² = 3² = 9

3. x = 2
     Calcul :
      f(2) = (2 + 4)² = 6² = 36

4. x = 5
     Calcul :
      f(5) = (5 + 4)² = 9² = 81

5. x = 6
     Calcul :
      f(6) = (6 + 4)² = 10² = 100

6. x = √3
     Calcul :
      f(√3) = (√3 + 4)²
      Pour développer :
       (√3 + 4)² = (4 + √3)² = 4² + 2 × 4 × √3 + (√3)²
              = 16 + 8√3 + 3
              = 19 + 8√3

Le tableau complété est donc :

  | x | -4 | -1 | 2 | 5 | 6 | √3 |   |——–|——|——|—–|—–|——|————|   | f(x) | 0 | 9 | 36 | 81 | 100 | 19 + 8√3 |

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2. Quelle est l’image de 2 par f ?
Il suffit de lire ce que nous avons calculé précédemment pour x = 2.
  f(2) = 36
Donc, l’image de 2 par f est 36.

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3. Donner une préimage de 49 par f
Une préimage de 49 par f est un nombre x tel que f(x) = 49. Ceci nous donne l’équation suivante :

  (x + 4)² = 49

Pour résoudre cette équation, nous remarquons que si le carré d’un nombre est 49, ce nombre peut être 7 ou –7. Ainsi :

  x + 4 = 7   ou  x + 4 = –7

Pour x + 4 = 7 :
  x = 7 – 4 = 3

Pour x + 4 = –7 :
  x = –7 – 4 = –11

La question demande une préimage de 49, il suffit donc d’en donner une. Par exemple, on peut dire que 3 est une préimage de 49 par f.

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Récapitulatif des réponses :

1. Le tableau complété :

  | x | -4 | -1 | 2 | 5 | 6 | √3 |   |——–|——|——|—–|—–|——|————|   | f(x) | 0 | 9 | 36 | 81 | 100 | 19 + 8√3 |

2. f(2) = 36

3. Une préimage de 49 par f est 3.

Cette démarche permet de comprendre la méthode utilisée pour ajouter 4, élever au carré, et résoudre une équation simple pour trouver une préimage.