Exercice 6

Soit la fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = -x^{2} + 8x - 12\). En quels points son graphique coupe-t-il

1. l’axe des abscisses ?

2. l’axe des ordonnées ?

Réponse

La fonction coupe l’axe des abscisses en (2 , 0) et (6 , 0) et l’axe des ordonnées en (0, −12).

Corrigé détaillé

Pour analyser les points où le graphique de la fonction \(f(x) = -x^{2} + 8x - 12\) coupe les axes des abscisses et des ordonnées, nous allons procéder en deux étapes distinctes.

1) Points de coupe avec l’axe des abscisses

Les points de coupe avec l’axe des abscisses correspondent aux valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) = 0\). Autrement dit, nous devons résoudre l’équation suivante :

\[ -f(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad -x^{2} + 8x - 12 = 0 \]

Simplifions l’équation en la réarrangeant :

\[ x^{2} - 8x + 12 = 0 \]

Il s’agit d’une équation du second degré de la forme \(ax^{2} + bx + c = 0\), où : - \(a = 1\) - \(b = -8\) - \(c = 12\)

Calcul du discriminant

Le discriminant \(\Delta\) est calculé à l’aide de la formule :

\[ \Delta = b^{2} - 4ac \]

En remplaçant les valeurs :

\[ \Delta = (-8)^{2} - 4 \times 1 \times 12 = 64 - 48 = 16 \]

Puisque le discriminant est positif (\(\Delta = 16 > 0\)), l’équation admet deux solutions réelles et distinctes.

Calcul des solutions

Les solutions sont données par les formules :

\[ x_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]

Calculons \(\sqrt{\Delta}\) :

\[ \sqrt{16} = 4 \]

Ainsi,

\[ x_{1} = \frac{-(-8) - 4}{2 \times 1} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ x_{2} = \frac{-(-8) + 4}{2 \times 1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Conclusion

Le graphique de la fonction coupe l’axe des abscisses aux points suivants :

\[ \boxed{ \left(2,\ 0 \right) \quad \text{et} \quad \left(6,\ 0 \right) } \]

2) Point de coupe avec l’axe des ordonnées

Le point de coupe avec l’axe des ordonnées correspond à la valeur de \(f(x)\) lorsque \(x = 0\). Calculons donc \(f(0)\) :

\[ f(0) = -0^{2} + 8 \times 0 - 12 = 0 + 0 - 12 = -12 \]

Conclusion

Le graphique de la fonction coupe l’axe des ordonnées au point suivant :

\[ \boxed{ \left(0,\ -12 \right) } \]

Résumé

• Axe des abscisses : La fonction coupe cet axe aux points \((2,\ 0)\) et \((6,\ 0)\).
• Axe des ordonnées : La fonction coupe cet axe au point \((0,\ -12)\).

Ces points nous donnent une idée précise de la position du graphe de la fonction \(f(x)\) dans le plan cartésien.