Exercice 5
L’application \(g\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ g(x) = -\frac{1}{2}x^{2} + 2x - 2. \] Tracez le graphique de \(g\) pour \(-2 \leq x \leq 6\).
Réponse
La parabole \(g(x) = -\frac{1}{2}x^{2} + 2x - 2\) est ouverte vers le bas avec sommet en \(S(2, 0)\). Elle intersecte l’axe des \(y\) en \((0, -2)\) et a une double racine en \(x = 2\). Le graphique est tracé en sélectionnant des points sur l’intervalle \([-2, 6]\) et en dessinant la courbe symétrique par rapport à \(x = 2\).
Corrigé détaillé
Pour tracer le graphique de la fonction \(g\) définie par \[ g(x) = -\frac{1}{2}x^{2} + 2x - 2 \] sur l’intervalle \(-2 \leq x \leq 6\), suivons les étapes suivantes :
1. Identifier le type de fonction
La fonction \(g(x)\) est un polynôme de degré 2, aussi appelée fonction quadratique. Son graphique est une parabole.
2. Déterminer l’orientation de la parabole
Le coefficient du terme \(x^{2}\) est \(-\frac{1}{2}\), qui est négatif. Cela signifie que la parabole ouvert vers le bas.
3. Trouver le sommet de la parabole
Le sommet de la parabole est le point où la fonction atteint son maximum (puisque la parabole est orientée vers le bas).
La formule pour trouver l’abscisse du sommet \(x_s\) est : \[ x_s = -\frac{b}{2a} \] où \(a = -\frac{1}{2}\) et \(b = 2\) dans notre fonction.
Calculons : \[ x_s = -\frac{2}{2 \times (-\frac{1}{2})} = -\frac{2}{-1} = 2 \]
Maintenant, trouvons l’ordonnée \(y_s\) en remplaçant \(x_s\) dans \(g(x)\) : \[ y_s = g(2) = -\frac{1}{2}(2)^2 + 2 \times 2 - 2 = -\frac{1}{2} \times 4 + 4 - 2 = -2 + 4 - 2 = 0 \] Ainsi, le sommet est \(S(2,\ 0)\).
4. Déterminer les points d’intersection avec les axes
Intersection avec l’axe des \(y\)
Pour trouver l’intersection avec l’axe des \(y\), on calcule \(g(0)\) : \[ g(0) = -\frac{1}{2}(0)^2 + 2 \times 0 - 2 = -2 \] Le point d’intersection est \((0,\ -2)\).
Intersections avec l’axe des \(x\)
Pour trouver les racines, on résout \(g(x) = 0\) : \[ -\frac{1}{2}x^{2} + 2x - 2 = 0 \] Multipliant par \(-2\) pour simplifier : \[ x^{2} - 4x + 4 = 0 \] Cette équation revient à : \[ (x - 2)^2 = 0 \] Donc, \(x = 2\). Il y a une double racine en \(x = 2\), ce qui coïncide avec le sommet de la parabole.
5. Construire un tableau de valeurs
Choisissons plusieurs valeurs de \(x\) dans l’intervalle \(-2 \leq x \leq 6\) et calculons \(g(x)\).
| \(x\) | \(g(x)\) |
|---|---|
| -2 | \(-\frac{1}{2}(-2)^2 + 2(-2) - 2 = -2 - 4 - 2 = -8\) |
| 0 | \(-2\) (déjà calculé) |
| 1 | \(-\frac{1}{2}(1)^2 + 2(1) - 2 = -0.5 + 2 - 2 = -0.5\) |
| 2 | \(0\) (sommet) |
| 3 | \(-\frac{1}{2}(3)^2 + 2(3) - 2 = -4.5 + 6 - 2 = -0.5\) |
| 4 | \(-\frac{1}{2}(4)^2 + 2(4) - 2 = -8 + 8 - 2 = -2\) |
| 6 | \(-\frac{1}{2}(6)^2 + 2(6) - 2 = -18 + 12 - 2 = -8\) |
6. Tracer le graphique
Avec les points obtenus :
- \((-2,\ -8)\)
- \((0,\ -2)\)
- \((1,\ -0.5)\)
- \((2,\ 0)\)
- \((3,\ -0.5)\)
- \((4,\ -2)\)
- \((6,\ -8)\)
Tracez ces points sur un repère cartésien et dessinez la parabole qui les relie, en veillant à ce qu’elle soit symétrique par rapport à l’axe de symétrie \(x = 2\) et qu’elle ouvre vers le bas.
Résumé
- Type de fonction : Quadratique (parabole).
- Orientation : Ouverte vers le bas.
- Sommet : \(S(2,\ 0)\).
- Points clés :
- Intersection avec l’axe des \(y\) : \((0,\ -2)\).
- Double racine sur l’axe des \(x\) : \((2,\ 0)\).
- Autres points calculés pour tracer la courbe.
En suivant ces étapes, vous pouvez tracer précisément le graphique de la fonction \(g\) sur l’intervalle donné.