Exercice 4
L’application suivante est définie par \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ f(x) = x^{2} - 2x + 3\).
Représentez-la graphiquement pour \(-2 \leq x \leq 4\).
Réponse
Résumé de l’exercice :
La fonction quadratique \(f(x) = x^{2} - 2x + 3\) est une parabole ouverte vers le haut avec un sommet en \(S(1\,|\,2)\) et un axe de symétrie \(x = 1\). L’ordonnée à l’origine est \((0\,|\,3)\). En calculant les valeurs de \(f(x)\) pour \(x\) compris entre -2 et 4 et en traçant les points obtenus, on construit le graphique de la fonction respectant ses propriétés caractéristiques.
Corrigé détaillé
Pour représenter graphiquement l’application \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ f(x) = x^{2} - 2x + 3\) sur l’intervalle \(-2 \leq x \leq 4\), suivons les étapes suivantes :
1. Identifier le type de fonction
La fonction \(f(x) = x^{2} - 2x + 3\) est une fonction du second degré ou parabole. Elle a la forme générale : \[ f(x) = ax^{2} + bx + c \] où \(a = 1\), \(b = -2\), et \(c = 3\).
2. Déterminer l’ouverture de la parabole
- Si \(a > 0\), la parabole ouvre vers le haut.
- Si \(a < 0\), la parabole ouvre vers le bas.
Dans notre cas, \(a = 1 > 0\), donc la parabole ouvre vers le haut.
3. Trouver le sommet de la parabole
Le sommet (\(S\)) d’une parabole donnée par \(f(x) = ax^{2} + bx + c\) se trouve en : \[ x_{S} = -\frac{b}{2a} \] \[ y_{S} = f(x_{S}) \]
Calculons \(x_{S}\) : \[ x_{S} = -\frac{-2}{2 \times 1} = \frac{2}{2} = 1 \] Calculons \(y_{S}\) : \[ y_{S} = (1)^{2} - 2 \times 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \] Donc, le sommet est \(S(1\,|\,2)\).
4. Déterminer l’axe de symétrie
L’axe de symétrie est la droite verticale passant par le sommet : \[ x = 1 \]
5. Calculer l’ordonnée à l’origine
L’ordonnée à l’origine est le point où la parabole coupe l’axe des ordonnées (\(x = 0\)) : \[ f(0) = 0^{2} - 2 \times 0 + 3 = 3 \] Donc, le point est \((0\,|\,3)\).
6. Construire un tableau de valeurs
Choisissons des valeurs de \(x\) dans l’intervalle \(-2 \leq x \leq 4\) et calculons les valeurs correspondantes de \(f(x)\).
| \(x\) | \(f(x) = x^{2} - 2x + 3\) |
|---|---|
| -2 | \((-2)^{2} - 2 \times (-2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11\) |
| -1 | \((-1)^{2} - 2 \times (-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6\) |
| 0 | \(0^{2} - 2 \times 0 + 3 = 3\) |
| 1 | \(1^{2} - 2 \times 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2\) |
| 2 | \(2^{2} - 2 \times 2 + 3 = 4 - 4 + 3 = 3\) |
| 3 | \(3^{2} - 2 \times 3 + 3 = 9 - 6 + 3 = 6\) |
| 4 | \(4^{2} - 2 \times 4 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11\) |
7. Tracer le graphique
Ploter les points obtenus dans le tableau de valeurs :
- \((-2\,|\,11)\)
- \((-1\,|\,6)\)
- \((0\,|\,3)\)
- \((1\,|\,2)\) (sommet)
- \((2\,|\,3)\)
- \((3\,|\,6)\)
- \((4\,|\,11)\)
Tracer l’axe de symétrie \(x = 1\).
Dessiner la parabole en reliant les points tracés, en veillant à ce que la courbe ouvre vers le haut et soit symétrique par rapport à l’axe de symétrie.
8. Vérification graphique
En observant le graphique, la parabole devrait passer par tous les points calculés et respecter les propriétés déterminées : - Sommet en \((1\,|\,2)\) - Axe de symétrie en \(x = 1\) - Ouverture vers le haut
Voici une représentation simplifiée du graphique :
\[ \begin{tikzpicture}[scale=0.5] \draw[->] (-3,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-1) -- (0,12) node[above] {$f(x)$}; \foreach \x in {-2,-1,0,1,2,3,4} { \draw (\x,1pt) -- (\x,-3pt) node[below] {$\x$}; } \foreach \y in {2,4,6,8,10} { \draw (1pt,\y) -- (-3pt,\y) node[left] {$\y$}; } \draw[blue, thick, domain=-2:4] plot (\x, {\x*\x - 2*\x + 3}); \fill (1,2) circle (3pt) node[above right] {S(1\,|\,2)}; \fill (0,3) circle (3pt) node[above right] {(0\,|\,3)}; \end{tikzpicture} \]
Remarque : Le graphique ci-dessus est une représentation schématique. Pour une précision accrue, utilisez un logiciel de dessin ou une calculatrice graphique.
Conclusion
En suivant ces étapes, vous pouvez représenter graphiquement la fonction \(f(x) = x^{2} - 2x + 3\) sur l’intervalle \(-2 \leq x \leq 4\). Vous avez identifié les caractéristiques principales de la parabole, calculé des points clés, et tracé le graphique en respectant les propriétés de la fonction du second degré.