Exercice 3

Les applications \(f\) et \(g\) suivantes sont définies dans \(\mathbb{R}\) :

\[ f(x) = x^{2} + 1 \quad g(x) = -x^{2} - 1 \]

Représentez-les graphiquement pour \(-3 \leq x \leq 3\).

Réponse

Les deux paraboles sont tracées sur l’intervalle [–3; 3] avec f(x) = x² + 1 (sommet en (0,1)) et g(x) = –x² – 1 (sommet en (0,–1)). Les points calculés sont reliés pour obtenir une parabole ouverte vers le haut pour f et une autre vers le bas pour g, toutes deux symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

Corrigé détaillé

Nous allons représenter graphiquement les deux fonctions dans l’intervalle donné – c’est-à-dire pour des valeurs de x comprises entre –3 et 3 – en procédant étape par étape.

────────────────────────────── 1. Analyse des fonctions

1. La première fonction est
     f(x) = x² + 1
   Ce type de fonction est une parabole qui s’ouvre vers le haut. Son sommet se trouve au point (0, 1) puisqu’en x = 0, on a f(0) = 0² + 1 = 1. La parabole est symétrique par rapport à l’axe vertical (l’axe des ordonnées).

2. La deuxième fonction est
     g(x) = –x² – 1
   Ici, la fonction est également une parabole, mais comme le coefficient de x² est négatif, cette parabole s’ouvre vers le bas. Son sommet se trouve au point (0, –1) puisque g(0) = –0² – 1 = –1. Elle est aussi symétrique par rapport à l’axe vertical.

────────────────────────────── 2. Calcul de quelques points pour tracer la courbe

Pour bien représenter les courbes, nous allons calculer les valeurs de f(x) et de g(x) pour quelques valeurs de x dans l’intervalle [–3; 3].

Tableau des valeurs pour f(x) :

  x    : –3  –2  –1  0  1  2  3
  f(x) = x² + 1 : 9 + 1 = 10, 4 + 1 = 5, 1 + 1 = 2, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 4 + 1 = 5, 9 + 1 = 10.

Donc les points pour la fonction f sont :
  (–3, 10), (–2, 5), (–1, 2), (0, 1), (1, 2), (2, 5), (3, 10).

Tableau des valeurs pour g(x) :

  x    : –3  –2  –1  0  1  2  3
  g(x) = –x² – 1 : –9 – 1 = –10, –4 – 1 = –5, –1 – 1 = –2, 0 – 1 = –1, –1 – 1 = –2, –4 – 1 = –5, –9 – 1 = –10.

Donc les points pour la fonction g sont :
  (–3, –10), (–2, –5), (–1, –2), (0, –1), (1, –2), (2, –5), (3, –10).

────────────────────────────── 3. Représentation graphique

1. Tracez un repère orthonormé en indiquant clairement l’axe horizontal (l’axe des abscisses) et l’axe vertical (l’axe des ordonnées).
    • Notez que l’intervalle de x va de –3 à 3.
    • Pour y, pensez à couvrir au moins de –10 à 10 afin d’inclure tous les points importants des fonctions.

2. Représentez la fonction f :
    • Placez les points : (–3, 10), (–2, 5), (–1, 2), (0, 1), (1, 2), (2, 5), et (3, 10).
    • Reliez ces points avec une courbe lisse en respectant la forme d’une parabole qui s’ouvre vers le haut.
    • Le sommet du parabole est (0, 1).

3. Représentez la fonction g :
    • Placez les points : (–3, –10), (–2, –5), (–1, –2), (0, –1), (1, –2), (2, –5), et (3, –10).
    • Reliez ces points avec une courbe lisse en respectant la forme d’une parabole qui s’ouvre vers le bas.
    • Le sommet de cette parabole est (0, –1).

────────────────────────────── 4. Astuces pour la représentation

• Rappel : Les deux paraboles sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
• Pour plus de clarté, vous pouvez tracer la courbe de f en utilisant une couleur et celle de g dans une autre couleur.
• N’oubliez pas d’indiquer les axes et d’écrire les coordonnées des points importants (les sommets, par exemple).

────────────────────────────── Conclusion

En suivant ces étapes, vous obtenez la représentation graphique des deux fonctions sur l’intervalle –3 ≤ x ≤ 3. La fonction f(x) = x² + 1 correspond à une parabole qui s’ouvre vers le haut avec sommet en (0, 1), et la fonction g(x) = –x² – 1 correspond à une parabole qui s’ouvre vers le bas avec sommet en (0, –1).

Ainsi, les deux graphiques montrent clairement l’évolution des fonctions pour les valeurs de x comprises entre –3 et 3.