Exercice 2
Les applications \(f\) et \(g\) suivantes sont définies dans \(\mathbb{R}\) :
\[ f: x \longmapsto x^{2} \quad g: x \longmapsto -x^{2}. \]
Représentez-les graphiquement pour \(-3 \leq x \leq 3\).
Réponse
Nous avons tracé les graphes des fonctions \(f(x) = x^{2}\) et \(g(x) = -x^{2}\) sur l’intervalle \([-3, 3]\). La parabole de \(f\) est ouverte vers le haut et celle de \(g\) vers le bas, toutes deux symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Corrigé détaillé
Correction de l’exercice
Nous allons représenter graphiquement les applications \(f\) et \(g\) définies par : \[ f: x \longmapsto x^{2} \quad \text{et} \quad g: x \longmapsto -x^{2}, \] pour \(x\) compris entre \(-3\) et \(3\).
1. Compréhension des fonctions
Fonction \(f(x) = x^{2}\)
- Type de fonction : Parabole ouverte vers le haut.
- Vertex (sommet) : Le point le plus bas de la parabole, situé en \((0, 0)\).
- Symétrie : Axée sur l’axe des ordonnées (\(x = 0\)).
Fonction \(g(x) = -x^{2}\)
- Type de fonction : Parabole ouverte vers le bas.
- Vertex (sommet) : Le point le plus haut de la parabole, situé en \((0, 0)\).
- Symétrie : Axée sur l’axe des ordonnées (\(x = 0\)).
2. Tableau de valeurs
Pour mieux représenter les fonctions, établissons un tableau de valeurs pour \(x\) allant de \(-3\) à \(3\) par pas de \(1\).
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = x^{2}\) | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
| \(g(x) = -x^{2}\) | -9 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | -9 |
3. Représentation graphique
a. Tracer la fonction \(f(x) = x^{2}\)
- Points clés :
- Vertex en \((0, 0)\)
- Points supplémentaires : \((-3, 9)\), \((-2, 4)\), \((-1, 1)\), \((1, 1)\), \((2, 4)\), \((3, 9)\)
- Symétrie :
- La parabole est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Les points \((-x, y)\) se reflètent en \((x, y)\).
- Dessin :
- Tracez l’axe des abscisses (\(x\)) et des ordonnées (\(y\)).
- Marquez les points sur le graphique selon le tableau de valeurs.
- Reliez les points de manière fluide pour former une parabole ouverte vers le haut.
b. Tracer la fonction \(g(x) = -x^{2}\)
- Points clés :
- Vertex en \((0, 0)\)
- Points supplémentaires : \((-3, -9)\), \((-2, -4)\), \((-1, -1)\), \((1, -1)\), \((2, -4)\), \((3, -9)\)
- Symétrie :
- La parabole est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Les points \((-x, y)\) se reflètent en \((x, y)\).
- Dessin :
- Utilisez le même système d’axes que pour \(f(x)\).
- Marquez les points spécifiques à \(g(x)\) sur le graphique.
- Reliez les points de manière fluide pour former une parabole ouverte vers le bas.
4. Résultat final
Après avoir tracé les deux fonctions, vous obtiendrez :
La parabole de \(f(x) = x^{2}\), ouverte vers le haut, passant par les points \((0, 0)\), \((1, 1)\), \((2, 4)\), et \((3, 9)\), ainsi que leurs symétriques négatifs.
La parabole de \(g(x) = -x^{2}\), ouverte vers le bas, passant par les points \((0, 0)\), \((1, -1)\), \((2, -4)\), et \((3, -9)\), ainsi que leurs symétriques négatifs.
Ces deux graphes sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées et se complètent mutuellement, l’une étant le reflet de l’autre.
5. Conclusion
En suivant ces étapes, vous avez représenté graphiquement les fonctions \(f(x) = x^{2}\) et \(g(x) = -x^{2}\) sur l’intervalle \([-3, 3]\). Comprendre les propriétés des paraboles, telles que leur ouverture et leur symétrie, facilite la réalisation de ces représentations graphiques.