Question : Un constructeur souhaite installer une clôture rectangulaire contre une porte pour délimiter un jardin. Il dispose de 18 m de clôture qu’il doit utiliser entièrement.
On désigne par \(l\) la largeur et par \(x\) la profondeur du jardin, en mètres.
L’objectif de cet exercice est de déterminer les dimensions du jardin pour que son aire soit maximale.
a. Quelle est l’aire du jardin lorsque \(x = 3\,\mathrm{m}\) ?
b. Quelles sont les valeurs possibles de \(x\) ?
c. On note \(A\) la fonction qui associe à \(x\) l’aire du jardin. Détermine cette fonction.
d. À l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, complète le tableau de valeurs de la fonction \(A(x)\).
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) |
| \(x\) | 6 | 7 | 8 | 9 | 9,5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) |
e. À partir du tableau, décris l’évolution de \(A(x)\) en fonction de \(x\) et donne un encadrement de la valeur de \(x\) pour laquelle \(A(x)\) semble maximale.
f. Trace la courbe représentative de la fonction \(A(x)\).
g. Complète le nouveau tableau de valeurs puis donne un encadrement au dixième de la valeur de \(x\) pour laquelle \(A(x)\) semble maximale.
| \(x\) | 4,4 | 4,5 | 4,6 | 4,7 | 4,8 | 4,9 | 5,0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) |
h. Calcule \(\mathcal{A}(4,75) - \mathcal{A}(x)\) et montre que cette expression est égale à \(2(x - 4,75)^{2}\).
i. Détermine le signe de cette expression et en déduis la valeur de \(x\) pour laquelle \(A(x)\) est maximale.
j. En déduis les dimensions du jardin d’aire maximale.
Réponse courte :
• Pour x = 3 m, A = 36 m².
• Le domaine de A est [0 ; 9] et A(x) = 18x – 2x².
• L’aire maximale, 40,5 m², est atteinte pour x = 4,5 m (profondeur) et
l = 9 m (largeur).
• On montre que A(4,5) – A(x) = 2(x – 4,5)², ce qui confirme que le
maximum se situe pour x = 4,5 m.
Voici une solution détaillée de l’exercice, en expliquant pas à pas chaque point :
────────────────────────────── 1. Mise en situation et modélisation
Le constructeur souhaite créer un jardin rectangulaire « en appui » sur une porte. Ce qui signifie que le côté juxtaposé à la porte ne nécessite pas de clôture. Ainsi, il faut installer la clôture sur les trois autres côtés. On note :
• x : la profondeur du jardin (la longueur perpendiculaire à la
porte)
• l : la largeur du jardin (la longueur parallèle à la porte)
La clôture est posée sur la largeur opposée à la porte et sur les
deux côtés de profondeur. Comme la longueur totale de clôture disponible
est de 18 m, on a : l + 2x = 18
d’où, en exprimant l en fonction de x : l = 18 – 2x
L’aire A du jardin se calcule par : A = l × x = x(18 – 2x) = 18x – 2x²
────────────────────────────── 2. Correction des questions
────────────────────────────── b. Valeurs possibles de x
Le jardin doit avoir des dimensions positives.
• La profondeur x doit être positive : x ≥ 0 (si x = 0, l’aire serait
nulle, ce qui n’est pas intéressant pour un jardin).
• De plus, la largeur l = 18 – 2x doit être positive (ou au moins non
négative) :
18 – 2x ≥ 0
⇒ 2x ≤ 18
⇒ x ≤ 9
Ainsi, x peut varier entre 0 et 9 (on notera que x = 0 ou x = 9
conduisent à une aire nulle).
La fonction A est donc définie sur l’intervalle [0; 9].
────────────────────────────── c. Détermination de la fonction
A
D’après la modélisation, l’aire est donnée par :
A(x) = x(18 – 2x) = 18x – 2x²
────────────────────────────── d. Compléter le tableau de valeurs de A(x)
On calcule A(x) pour les différentes valeurs proposées :
Pour le premier tableau :
• x = 0 :
A(0) = 18 × 0 – 2 × 0² = 0
• x = 1 :
A(1) = 18 × 1 – 2 × 1² = 18 – 2 = 16
• x = 2 :
A(2) = 18 × 2 – 2 × 2² = 36 – 8 = 28
• x = 3 :
A(3) = 18 × 3 – 2 × 3² = 54 – 18 = 36
• x = 4 :
A(4) = 18 × 4 – 2 × 4² = 72 – 32 = 40
• x = 5 :
A(5) = 18 × 5 – 2 × 5² = 90 – 50 = 40
Pour le second tableau :
• x = 6 :
A(6) = 18 × 6 – 2 × 6² = 108 – 72 = 36
• x = 7 :
A(7) = 18 × 7 – 2 × 7² = 126 – 98 = 28
• x = 8 :
A(8) = 18 × 8 – 2 × 8² = 144 – 128 = 16
• x = 9 :
A(9) = 18 × 9 – 2 × 9² = 162 – 162 = 0
Si l’on calcule pour x = 9,5 et x = 10 (même si pour x > 9 la largeur devient négative, ces valeurs permettent d’étudier le comportement de la fonction mathématique) :
• x = 9,5 :
A(9,5) = 18 × 9,5 – 2 × 9,5²
= 171 – 2 × 90,25
= 171 – 180,5
= –9,5
• x = 10 :
A(10) = 18 × 10 – 2 × 10²
= 180 – 200
= –20
On peut présenter les tableaux ainsi :
Premier tableau : x : 0 1 2 3 4 5
A(x) : 0 16 28 36 40 40
Second tableau : x : 6 7 8 9 9,5 10
A(x) : 36 28 16 0 –9,5 –20
────────────────────────────── e. Étude de l’évolution de A(x) et encadrement du maximum
D’après le tableau : • Pour x passant de 0 à environ 4–5, A(x)
augmente (0 → 16 → 28 → 36 → 40).
• Pour x supérieur à 4–5, A(x) diminue (40 → 36 → 28 → 16 → 0 …).
La fonction atteint ainsi son maximum dans l’intervalle [0; 9]. Le
tableau suggère que l’aire maximale se trouve lorsque x est compris
entre 4 et 5. (En théorie, en écrivant A(x) = 18x – 2x², il s’agit d’une
fonction quadratique dont le sommet se trouve en x = –(18)/(2 × (–2)) =
4,5.)
Ainsi, A(x) est maximale pour x ≈ 4,5 m.
────────────────────────────── f. Représentation graphique de la fonction A
Pour tracer la courbe représentative de A sur [0; 9] :
• On note que c’est une parabole (fonction quadratique) d’équation
A(x) = –2x² + 18x. • Son ouverture est dirigée vers le bas (le
coefficient de x² est négatif). • Les points caractéristiques sont
:
– L’origine : (0 ; 0)
– L’autre zéro en x = 9, car A(9) = 0
– Le sommet : (4,5 ; 40,5) qui représente l’aire maximale. • On peut
ensuite tracer sur un repère orthonormé la parabole passant par ces
points et notant la symétrie par rapport à la droite x = 4,5.
────────────────────────────── g. Compléter le nouveau tableau et encadrer x
On va calculer A(x)=18x – 2x² pour les x donnés dans le tableau précis :
Pour x = 4,4 : Calcul : 4,4² = 19,36
A(4,4) = 18 × 4,4 – 2 × 19,36
= 79,2 – 38,72
≈ 40,48
Pour x = 4,5 : 4,5² = 20,25
A(4,5) = 18 × 4,5 – 2 × 20,25
= 81 – 40,5
= 40,5
Pour x = 4,6 : 4,6² = 21,16
A(4,6) = 18 × 4,6 – 2 × 21,16
= 82,8 – 42,32
≈ 40,48
Pour x = 4,7 : 4,7² = 22,09
A(4,7) = 18 × 4,7 – 2 × 22,09
= 84,6 – 44,18
≈ 40,42
Pour x = 4,8 : 4,8² = 23,04
A(4,8) = 18 × 4,8 – 2 × 23,04
= 86,4 – 46,08
≈ 40,32
Pour x = 4,9 : 4,9² = 24,01
A(4,9) = 18 × 4,9 – 2 × 24,01
= 88,2 – 48,02
≈ 40,18
Pour x = 5,0 : 5,0² = 25
A(5,0) = 18 × 5 – 2 × 25
= 90 – 50
= 40
Le tableau se présente alors :
x : 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0
A(x) : 40,48 40,50 40,48 40,42 40,32 40,18 40,00
D’après ce tableau, l’aire est maximale pour x ≈ 4,5 m. En encadrant au dixième près, on peut affirmer que le maximum se situe pour x = 4,5 m.
────────────────────────────── h. Mise sous forme de carré – Complément de l’expression
On souhaite calculer et factoriser l’expression A(4,5) – A(x). (Remarque : dans l’énoncé, il est écrit 4,75, mais d’après le calcul du maximum, le sommet est en x = 4,5. Il semble qu’il y ait une coquille dans l’énoncé. Nous prenons donc 4,5 comme valeur correspondant au maximum.)
On sait que : A(x) = 18x – 2x²
et A(4,5) = 18 × 4,5 – 2 × (4,5)² = 81 – 40,5 = 40,5.
Calculons la différence : A(4,5) – A(x) = 40,5 – (18x – 2x²)
= 40,5 – 18x + 2x²
= 2x² – 18x + 40,5
Pour mettre cette expression sous forme canonique, nous pouvons
compléter le carré. D’abord, remarquons que : x² – 9x = (x – 4,5)² –
(4,5)²
puisque (x – 4,5)² = x² – 9x + 20,25.
Ainsi : x² – 9x = (x – 4,5)² – 20,25
Multipliant par 2 on obtient : 2x² – 18x = 2[(x – 4,5)² – 20,25] = 2(x – 4,5)² – 40,5
Dès lors : 2x² – 18x + 40,5 = 2(x – 4,5)² – 40,5 + 40,5
= 2(x – 4,5)²
Nous avons ainsi montré que : A(4,5) – A(x) = 2(x – 4,5)²
────────────────────────────── i. Détermination du signe de l’expression et identification du maximum
L’expression obtenue est 2(x – 4,5)².
• Le carré d’un réel est toujours positif ou nul.
• Multiplié par 2 (nombre positif) le résultat est donc toujours positif
ou nul.
On a alors : 2(x – 4,5)² ≥ 0 pour tout x. L’égalité 2(x – 4,5)² = 0 se
produit si et seulement si (x – 4,5)² = 0, c’est-à-dire si x = 4,5.
Or, A(4,5) – A(x) ≥ 0 signifie que A(x) ≤ A(4,5) pour tout x et que l’aire est maximale lorsque x = 4,5.
────────────────────────────── j. Détermination des dimensions du jardin d’aire maximale
Nous avons trouvé que l’aire est maximale pour x = 4,5 m. Pour
connaître la largeur l, on utilise la relation : l = 18 – 2x
En remplaçant x par 4,5 : l = 18 – 2 × 4,5
= 18 – 9
= 9 m
Ainsi, pour obtenir l’aire maximale, les dimensions du jardin doivent
être : • Profondeur : x = 4,5 m
• Largeur : l = 9 m
L’aire maximale est alors : A(4,5) = 40,5 m²
────────────────────────────── Conclusion
• a. Lorsque x = 3 m, l’aire est de 36 m².
• b. Les valeurs possibles de x sont celles de [0 ; 9].
• c. La fonction est A(x) = 18x – 2x².
• d. Les tableaux se complètent avec les valeurs calculées.
• e. D’après le tableau, A(x) augmente puis décroît, le maximum étant
atteint pour x ≈ 4,5 m.
• f. La courbe représentative de A est une parabole dirigée vers le bas,
passant par (0, 0), (4,5, 40,5) et (9, 0).
• g. Le tableau détaillé autour du maximum confirme que l’aire maximale
se situe pour x = 4,5 m.
• h. En écrivant A(4,5) – A(x) et en complétant le carré, on obtient 2(x
– 4,5)².
• i. Comme 2(x – 4,5)² est positif ou nul (nul uniquement lorsque x =
4,5), l’aire est maximale pour x = 4,5 m.
• j. Les dimensions du jardin d’aire maximale sont donc : profondeur 4,5
m et largeur 9 m (aire maximale de 40,5 m²).
Cette démarche détaillée permet de comprendre l’ensemble des étapes du problème et la logique utilisée pour maximiser l’aire du jardin.