Exercice 112
Question : Voici un tableau illustrant le coût total de fabrication d’un produit en fonction du nombre d’unités produites.
Le coût total se calcule ainsi :
\[ \text{Coût total} = \text{Coût fixe} + \text{Coût variable} \]
avec un coût fixe de 200 euros par mois.
| Nombre d’unités | Coût fixe (euros) | Coût variable (euros) | Coût total (euros) |
|---|---|---|---|
| 100 | 200 | 500 | 700 |
| 150 | 200 | 750 | 950 |
| 200 | 200 | 1000 | 1200 |
| 250 | 200 | 1250 | 1450 |
| 300 | 200 | 1500 | 1700 |
a) Le coût total est-il proportionnel au nombre d’unités produites ? Justifie ta réponse.
b) Le coût variable est-il proportionnel au nombre d’unités produites ? Justifie ta réponse.
c) En te basant sur le tableau ci-dessus, représente graphiquement le coût fixe, le coût variable et le coût total en fonction du nombre d’unités produites.
d) Estime le coût total pour la production de 175
unités.
Et pour la production de 225 unités ?
Réponse
Résumé de la correction
Non, le coût total n’est pas proportionnel au nombre d’unités produites car le coût par unité diminue avec l’augmentation de la production.
Oui, le coût variable est proportionnel au nombre d’unités produites avec un coût de 5 €/unité constant.
Graphiquement :
- Coût fixe : ligne horizontale à 200 €.
- Coût variable : droite passant par l’origine avec une pente de 5.
- Coût total : droite décalée de 200 € avec la même pente que le coût variable.
- Estimations du coût total :
- 175 unités : 1075 €.
- 225 unités : 1325 €.
Corrigé détaillé
Correction de l’exercice
Nous allons répondre à chaque question en détaillant les étapes nécessaires pour parvenir aux réponses.
a) Le coût total est-il proportionnel au nombre d’unités produites ? Justifie ta réponse.
Définition de la proportionnalité : Deux grandeurs sont proportionnelles si leur rapport est constant. Autrement dit, si le coût total varie de manière constante en fonction du nombre d’unités produites, alors ils sont proportionnels.
Analyse des données :
Examinons les variations du coût total et du nombre d’unités produites dans le tableau :
| Nombre d’unités | Coût total (euros) |
|---|---|
| 100 | 700 |
| 150 | 950 |
| 200 | 1200 |
| 250 | 1450 |
| 300 | 1700 |
Calculons le rapport du coût total au nombre d’unités produites pour chaque cas :
\[ \frac{\text{Coût total}}{\text{Nombre d’unités}} = \begin{cases} \frac{700}{100} = 7 \, \text{euros/unité} \\ \frac{950}{150} \approx 6,33 \, \text{euros/unité} \\ \frac{1200}{200} = 6 \, \text{euros/unité} \\ \frac{1450}{250} = 5,8 \, \text{euros/unité} \\ \frac{1700}{300} \approx 5,67 \, \text{euros/unité} \\ \end{cases} \]
Conclusion : Le rapport \(\frac{\text{Coût total}}{\text{Nombre d’unités}}\) diminue lorsque le nombre d’unités augmente. Ce rapport n’est donc pas constant. Par conséquent, le coût total n’est pas proportionnel au nombre d’unités produites.
b) Le coût variable est-il proportionnel au nombre d’unités produites ? Justifie ta réponse.
Définition de la proportionnalité : Comme précédemment, deux grandeurs sont proportionnelles si leur rapport est constant.
Analyse des données :
Examinons les variations du coût variable et du nombre d’unités produites dans le tableau :
| Nombre d’unités | Coût variable (euros) |
|---|---|
| 100 | 500 |
| 150 | 750 |
| 200 | 1000 |
| 250 | 1250 |
| 300 | 1500 |
Calculons le rapport du coût variable au nombre d’unités produites pour chaque cas :
\[ \frac{\text{Coût variable}}{\text{Nombre d’unités}} = \begin{cases} \frac{500}{100} = 5 \, \text{euros/unité} \\ \frac{750}{150} = 5 \, \text{euros/unité} \\ \frac{1000}{200} = 5 \, \text{euros/unité} \\ \frac{1250}{250} = 5 \, \text{euros/unité} \\ \frac{1500}{300} = 5 \, \text{euros/unité} \\ \end{cases} \]
Conclusion : Le rapport \(\frac{\text{Coût variable}}{\text{Nombre d’unités}}\) est toujours égal à 5 euros/unité. Ce rapport est constant. Par conséquent, le coût variable est proportionnel au nombre d’unités produites.
c) En te basant sur le tableau ci-dessus, représente graphiquement le coût fixe, le coût variable et le coût total en fonction du nombre d’unités produites.
Étapes pour la représentation graphique :
Choisir un système de coordonnées :
- L’axe horizontal (x) représentera le nombre d’unités produites.
- L’axe vertical (y) représentera les coûts en euros.
Tracer les courbes :
- Coût fixe :
- Le coût fixe est constant à 200 euros quel que soit le nombre d’unités produites.
- Sur le graphique, il s’agit d’une ligne horizontale au niveau de 200 euros.
- Coût variable :
- Comme vu en b), le coût variable est proportionnel au nombre d’unités produites avec un coefficient de 5 euros/unité.
- L’équation de la droite est : \[ \text{Coût variable} = 5 \times \text{Nombre d’unités} \]
- Cette droite passe par l’origine (0,0) et monte avec une pente de 5.
- Coût total :
- Le coût total est la somme du coût fixe et du coût variable. \[ \text{Coût total} = \text{Coût fixe} + \text{Coût variable} = 200 + 5 \times \text{Nombre d’unités} \]
- L’équation de la droite est donc : \[ \text{Coût total} = 200 + 5 \times \text{Nombre d’unités} \]
- Cette droite a une pente identique à celle du coût variable (5) mais est décalée de 200 euros vers le haut.
- Coût fixe :
Représentation graphique :
(Remplacer par un graphique
approprié)- Ligne rouge : Coût fixe (ligne horizontale à 200 euros).
- Ligne bleue : Coût variable (droite passant par l’origine avec pente de 5).
- Ligne verte : Coût total (droite décalée de 200 euros avec pente de 5).
Interprétation :
- Le coût fixe reste constant indépendamment de la production.
- Le coût variable augmente proportionnellement avec le nombre d’unités produites.
- Le coût total combine ces deux comportements, augmentant de manière linéaire mais toujours au-dessus du coût variable seul en raison des coûts fixes.
d) Estime le coût total pour la production de 175 unités. Et pour la production de 225 unités ?
Méthode : Utilisons l’équation du coût total que nous avons déterminée précédemment :
\[ \text{Coût total} = 200 + 5 \times \text{Nombre d’unités} \]
Pour 175 unités :
\[ \text{Coût total} = 200 + 5 \times 175 = 200 + 875 = 1075 \, \text{euros} \]
Pour 225 unités :
\[ \text{Coût total} = 200 + 5 \times 225 = 200 + 1125 = 1325 \, \text{euros} \]
Conclusion :
- Pour 175 unités, le coût total estimé est de 1075 euros.
- Pour 225 unités, le coût total estimé est de 1325 euros.
Ces estimations sont basées sur la relation linéaire entre le coût total et le nombre d’unités produites.