On fabrique des cylindres ouverts sans couvercle.
Représentez graphiquement l’aire totale de ces cylindres en fonction de leur rayon.
Déterminez l’expression fonctionnelle de cette relation.
Quel doit être le rayon du cylindre pour que son aire totale soit de \(20\,\mathrm{cm}^{2}\) ou de \(1,20\,\mathrm{m}^{2}\) ?
A l’aide de l’hypothèse h = 2r, on obtient pour un cylindre ouvert l’aire totale A(r) = 5πr². Ainsi, pour :
• A = 20 cm² : r = 2/√π (cm), • A = 1,20 m² (soit 12 000 cm²) : r = √(2400/π) (cm) ≈ 27,65 cm.
Le graphique de A(r) est une parabole passant par l’origine et ouverte vers le haut.
Nous allons étudier la fabrication de cylindres ouverts (sans couvercle) dont on souhaite exprimer l’aire totale en fonction du seul rayon. Pour que cette aire dépende uniquement de r, il faut exprimer la hauteur h en fonction de r. Une façon simple et classique d’obtenir cette dépendance consiste à admettre que la hauteur est liée au rayon par la relation
h = 2r.
Cette hypothèse, qui peut apparaître dans des exercices de conception, permet en effet de fabriquer le cylindre en ne choisissant comme dimension variable que r. Voyons en détail comment procéder.
────────────────────────────── 1 – Expression de l’aire totale
Pour un cylindre ouvert sans couvercle, l’aire totale A se compose de : • l’aire de la base circulaire : A_base = πr², • l’aire latérale (la “banderole” qui entoure le cylindre) : A_latérale = P × h, où le périmètre de la base est P = 2πr.
Ainsi, on a : A = πr² + 2πr·h.
────────────────────────────── 2 – Remplacement de h par 2r
En posant h = 2r, on obtient : A = πr² + 2πr·(2r) = πr² + 4πr² = (π + 4π) r² = 5πr².
────────────────────────────── 3 – Réponses aux questions
La fonction A(r) = 5πr² est une fonction du second degré (une parabole) qui passe par l’origine (r = 0, A = 0). Pour r positif, l’aire totale augmente lorsque r augmente et la courbe est « tournée vers le haut ». Ainsi, le graphique est la parabole admettant comme équation A = 5πr².
Nous avons établi que l’aire totale en fonction du rayon est : A(r) = 5πr². Cette formule donne directement l’aire en cm² quand r est exprimé en cm.
• Cas 1 – A = 20 cm² :
On écrit l’équation 5πr² = 20. Isolons r² : r² = 20/(5π) = 4/π. La solution positive (puisque le rayon est une grandeur positive) est r = 2/√π (cm).
• Cas 2 – A = 1,20 m² :
Attention aux unités ! Comme 1 m² = 10 000 cm², on a 1,20 m² = 1,20 × 10 000 = 12 000 cm². L’équation devient 5πr² = 12 000. Isolons r² : r² = 12 000/(5π) = 2400/π. D’où r = √(2400/π) (cm). On peut donner une valeur approchée en effectuant le calcul numérique (π ≈ 3,14) : r ≈ √(2400/3,14) ≈ √764 ≈ 27,65 cm.
────────────────────────────── Conclusion
• a) Le graphique de l’aire totale est la parabole dont l’équation est A(r) = 5πr². • b) L’expression fonctionnelle de l’aire totale est A = 5πr². • c) Pour obtenir une aire totale de 20 cm², le rayon doit être r = 2/√π (cm), et pour obtenir 1,20 m², il faut r = √(2400/π) (soit environ 27,65 cm).