Question : Les fonctions \(f\), \(g\), \(\mathcal{h}\) et \(j\) sont définies par le tableau suivant :
| \(x\) | \(f(x)\) | \(g(x)\) | \(\mathcal{h}(x)\) | \(j(x)\) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 15 | 5 | 0,5 | 20 |
| 6 | 30 | 10 | 1,0 | 40 |
| -2 | -10 | -5 | -0,5 | 0 |
Sont-elles toutes linéaires ?
Écris, si possible, l’expression fonctionnelle de chacune de ces fonctions.
Seule la fonction f est linéaire, et son expression est f(x) = 5x. Les fonctions g, ℎ et j ne sont pas linéaires car leurs taux de variation ne sont pas constants.
Nous avons ici quatre fonctions f, g, ℎ et j définies par trois points. Pour savoir si une fonction est linéaire (c’est-à-dire de la forme ax + b, avec a et b constants), il faut vérifier que le taux de variation (la pente) est constant entre tous les points.
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1) Étude de la fonction f
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Les valeurs données pour f sont : • f(3) = 15
• f(6) = 30
• f(–2) = –10
Calculons le taux de variation entre deux paires de points :
• Entre x = 3 et x = 6 :
Taux = [f(6) – f(3)] / (6 – 3) = (30 – 15) / 3 = 15/3 = 5
• Entre x = –2 et x = 3 :
Taux = [f(3) – f(–2)] / (3 – (–2)) = (15 – (–10)) / (3 + 2) = 25/5 =
5
On voit que le taux de variation est constant (égal à 5).
Dès lors, f est linéaire.
Pour déterminer l’expression, on peut utiliser la forme f(x) = ax + b.
Ici, le coefficient directeur a est 5.
Utilisons l’un des points pour trouver b. Par exemple avec x = 3 :
15 = 5 × 3 + b ⟹ 15 = 15 + b ⟹ b = 0
L’expression de f est donc :
f(x) = 5x
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2) Étude des fonctions g, ℎ et j
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Pour qu’une fonction soit linéaire, le taux de variation doit être toujours le même. Vérifions chacune :
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Fonction g
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Valeurs données :
• g(3) = 5
• g(6) = 10
• g(–2) = –5
Calculons deux taux de variation :
• Entre x = 3 et x = 6 :
Taux = (10 – 5) / (6 – 3) = 5/3 ≈ 1,67
• Entre x = –2 et x = 3 :
Taux = (5 – (–5)) / (3 – (–2)) = 10/5 = 2
Les taux (1,67 et 2) sont différents.
Donc, g n’a pas de taux de variation constant et n’est pas linéaire.
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Fonction ℎ
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Valeurs données :
• ℎ(3) = 0,5
• ℎ(6) = 1,0
• ℎ(–2) = –0,5
Calculons les taux de variation :
• Entre x = 3 et x = 6 :
Taux = (1,0 – 0,5) / (6 – 3) = 0,5/3 ≈ 0,167
• Entre x = –2 et x = 3 :
Taux = (0,5 – (–0,5)) / (3 – (–2)) = 1/5 = 0,2
Ici, 0,167 ≠ 0,2.
Donc, ℎ n’est pas linéaire.
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Fonction j
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Valeurs données :
• j(3) = 20
• j(6) = 40
• j(–2) = 0
Calculons les taux de variation :
• Entre x = 3 et x = 6 :
Taux = (40 – 20) / (6 – 3) = 20/3 ≈ 6,67
• Entre x = –2 et x = 3 :
Taux = (20 – 0) / (3 – (–2)) = 20/5 = 4
Les taux sont différents (6,67 et 4).
Donc, j n’est pas une fonction linéaire.
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Récapitulatif des réponses
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Parmi les fonctions du tableau, seule f est linéaire. Les fonctions g, ℎ et j ne sont pas linéaires car leur taux de variation n’est pas constant entre les différents points.
L’expression fonctionnelle de la fonction f est :
f(x) = 5x
Pour g, ℎ et j, il n’est pas possible d’écrire une expression sous forme ax + b qui corresponde aux valeurs du tableau puisqu’elles ne présentent pas un même taux de variation.
Cette démarche consiste à comparer les variations entre les points donnés afin de vérifier la linéarité et, le cas échéant, à déterminer l’expression en utilisant un des points pour trouver la constante additive.