Question : Marie a le choix entre trois options d’abonnement pour la saison des pièces de théâtre, comprenant en tout quinze représentations :
Détermine l’option la plus avantageuse pour huit représentations.
Considère les fonctions suivantes qui associent un prix au nombre de représentations : \[ \begin{cases} f(x) & \text{pour l'option A}, \\ g(x) & \text{pour l'option B}, \\ h(x) & \text{pour l'option C}. \end{cases} \] Représente ces fonctions dans un même système de coordonnées.
Utilise ces représentations graphiques pour choisir l’option la plus avantageuse en fonction du nombre de représentations.
Réponse courte :
Pour 8 représentations, l’option C est la moins chère (40×8 = 320 €).
Les fonctions de coût sont : • f(x) = 600, • g(x) = 250 + 30x, • h(x) = 40x.
D’après les graphiques, l’option optimale est : • Moins de 15 représentations : option C, • 15 représentations : options A et C équivalentes, • Plus de 15 représentations : option A.
Nous allons analyser chacune des parties de l’exercice en détaillant les étapes de raisonnement.
────────────────────────────── Partie a) Déterminer l’option la plus avantageuse pour huit représentations
Nous commençons par calculer le coût total pour chaque option lorsque Marie assiste à 8 représentations.
Option A (abonnement annuel) :
Le coût est fixe, quel que soit le nombre de représentations.
Coût = 600 €.
Option B (abonnement + coût par représentation) :
Le coût est constitué d’une partie fixe (250 €) plus 30 € par
représentation.
Pour 8 représentations :
Coût = 250 € + 30 × 8 = 250 € + 240 € = 490 €.
Option C (achat de billets au tarif individuel) :
Chaque billet coûte 40 €, donc pour 8 représentations :
Coût = 40 × 8 = 320 €.
Comparaison des coûts pour 8 représentations :
- Option A = 600 €
- Option B = 490 €
- Option C = 320 €
Conclusion pour la partie a) :
L’option la moins chère pour 8 représentations est l’option C (achat
individuel des billets) avec un coût de 320 €.
────────────────────────────── Partie b) Représenter graphiquement les fonctions associant un prix au nombre de représentations
On définit les fonctions associées à chaque option en fonction du nombre de représentations x :
Pour l’option A, le coût ne dépend pas du nombre de
représentations. On a donc :
f(x) = 600
Cette fonction se représente par une droite horizontale au niveau de y =
600.
Pour l’option B, le coût comprend une somme fixe plus un montant
proportionnel au nombre de représentations, soit :
g(x) = 250 + 30x
C’est une droite d’équation linéaire dont la pente est 30 et l’ordonnée
à l’origine est 250.
Pour l’option C, le coût augmente linéairement avec le nombre de
représentations :
h(x) = 40x
Ici, la pente est 40 et l’ordonnée à l’origine est 0.
Pour représenter ces trois fonctions dans un même repère, on choisit un axe horizontal (l’axe des abscisses) représentant le nombre de représentations x et un axe vertical (l’axe des ordonnées) représentant le coût total en euros :
On peut ainsi tracer ces trois droites sur le même graphique.
────────────────────────────── Partie c) Utiliser les représentations graphiques pour choisir l’option la plus avantageuse en fonction du nombre de représentations
Les représentations graphiques permettent de comparer les coûts en fonction du nombre de représentations x. Observons les intersections entre les droites pour déterminer les seuils :
Intersection entre f(x) et h(x) :
On cherche le x tel que 600 = 40x.
En résolvant, on trouve x = 600 ÷ 40 = 15.
Cela signifie que pour 15 représentations, l’option A et l’option C
reviennent au même prix (600 €).
Intersection entre f(x) et g(x) :
On résout 600 = 250 + 30x.
En isolant x, 30x = 600 – 250 = 350, soit x = 350 ÷ 30 ≈ 11,67.
Pour un nombre de représentations inférieur à environ 12, l’option B est
plus coûteuse que l’option A, mais ce point n’est pas déterminant ici
puisque l’option C, étudiée précédemment, donne déjà un coût plus faible
pour des nombres de représentations faibles.
Intersection entre g(x) et h(x) :
On égalise 250 + 30x = 40x.
Ainsi, 250 = 40x – 30x = 10x, ce qui donne x = 250 ÷ 10 = 25.
Cela signifie que pour x < 25, le coût de l’option C est inférieur à
celui de l’option B, et pour x > 25, l’option B devient moins chère
que l’option C.
À l’aide du graphique, on peut déduire la situation générale :
• Pour un faible nombre de représentations (par exemple, 8
représentations comme en partie a) ou tout nombre inférieur à 15), la
droite h(x) se trouve sous la droite f(x) (puisque 40x < 600 pour x
< 15) et également sous la droite g(x).
→ L’option la moins coûteuse est donc l’option C.
• Pour x = 15 représentations, f(x) et h(x) se rejoignent (tous deux
à 600 €).
→ Pour 15 représentations, l’option A et l’option C sont
équivalentes.
• Pour un nombre de représentations supérieur à 15, 40x (option C)
dépasse 600.
→ L’option A, avec un coût fixe de 600 €, devient alors la moins
chère.
• L’option B, à cause de sa composante fixe, commence à être compétitive seulement pour un très grand nombre de représentations (elle sera moins chère que l’option C uniquement pour x > 25), mais reste toujours au-dessus de l’option A pour la majorité des situations envisagées ici.
Conclusion pour la partie c) :
- Pour un nombre de représentations faible (jusqu’à 14), l’option C
(achat de billets individuellement) est la plus avantageuse.
- Pour 15 représentations, l’option A et l’option C reviennent au même
coût.
- Pour un nombre de représentations supérieur à 15, l’option A est la
plus avantageuse étant donné qu’elle est fixe à 600 € et que le coût de
l’option C dépasse 600 €.
────────────────────────────── Résumé de la correction :
Cette démarche permet à Marie de choisir l’abonnement le mieux adapté en fonction de son nombre de représentations prévues.