Question : Détermine les fonctions affines \(f_{1}\) et \(f_{2}\) telles que :
\[ \begin{cases} f_{1}(2) = 5, \\ f_{1}(5) = 11, \\ f_{2}(3) = 0, \\ f_{2}(0) = 4. \end{cases} \]
Les fonctions affines recherchées sont : \[ f_{1}(x) = 2x + 1 \quad \text{et} \quad f_{2}(x) = -\frac{4}{3}x + 4. \]
Pour déterminer les fonctions affines \(f_{1}\) et \(f_{2}\) satisfaisant les conditions données, nous allons procéder étape par étape en utilisant la forme générale d’une fonction affine.
Une fonction affine est de la forme : \[ f(x) = ax + b \] où \(a\) est le coefficient directeur et \(b\) est l’ordonnée à l’origine.
On nous donne les conditions suivantes pour \(f_{1}\) : \[ \begin{cases} f_{1}(2) = 5, \\ f_{1}(5) = 11. \end{cases} \]
Étape 1 : Écrire les équations correspondant aux conditions données.
En utilisant la forme générale de la fonction affine \(f(x) = ax + b\), nous pouvons écrire : \[ \begin{cases} 5 = a \times 2 + b, \\ 11 = a \times 5 + b. \end{cases} \]
Étape 2 : Résoudre le système d’équations pour trouver \(a\) et \(b\).
Soustrayons la première équation de la deuxième pour éliminer \(b\) : \[ (11) - (5) = (5a + b) - (2a + b) \\ 6 = 3a \\ \Rightarrow a = \frac{6}{3} = 2. \]
Maintenant que nous avons trouvé \(a = 2\), substituons cette valeur dans la première équation pour trouver \(b\) : \[ 5 = 2 \times 2 + b \\ 5 = 4 + b \\ \Rightarrow b = 5 - 4 = 1. \]
Conclusion pour \(f_{1}\) : \[ f_{1}(x) = 2x + 1 \]
On nous donne les conditions suivantes pour \(f_{2}\) : \[ \begin{cases} f_{2}(3) = 0, \\ f_{2}(0) = 4. \end{cases} \]
Étape 1 : Écrire les équations correspondant aux conditions données.
En utilisant la forme générale de la fonction affine \(f(x) = ax + b\), nous pouvons écrire : \[ \begin{cases} 0 = a \times 3 + b, \\ 4 = a \times 0 + b. \end{cases} \]
Étape 2 : Résoudre le système d’équations pour trouver \(a\) et \(b\).
De la deuxième équation, on obtient directement : \[ 4 = 0 \times a + b \\ \Rightarrow b = 4. \]
Substituons maintenant la valeur de \(b\) dans la première équation : \[ 0 = 3a + 4 \\ \Rightarrow 3a = -4 \\ \Rightarrow a = -\frac{4}{3}. \]
Conclusion pour \(f_{2}\) : \[ f_{2}(x) = -\frac{4}{3}x + 4 \]
Les fonctions affines recherchées sont donc : \[ \boxed{ \begin{cases} f_{1}(x) = 2x + 1, \\ f_{2}(x) = -\dfrac{4}{3}x + 4. \end{cases} } \]