Exercice 99

Tracer, sur un même système de coordonnées :

• une droite \(d_{1}\) de pente \(-\frac{1}{2}\) passant par le point \(A(-3 ; 0)\) ;
• une droite \(d_{2}\) parallèle à \(d_{1}\) et dont l’ordonnée à l’origine est \(1\) ;
• une droite \(d_{3}\) perpendiculaire à \(d_{2}\) et ayant la même ordonnée à l’origine que \(d_{2}\).

Donnez l’équation de chacune de ces trois droites.

Réponse

Les équations des droites sont :

• \(d_{1} : y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\)
• \(d_{2} : y = -\frac{1}{2}x + 1\)
• \(d_{3} : y = 2x + 1\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Nous allons déterminer les équations des droites \(d_{1}\), \(d_{2}\) et \(d_{3}\) étape par étape.

1. Détermination de l’équation de la droite \(d_{1}\)

Données : - Pente \(m = -\frac{1}{2}\) - Passe par le point \(A(-3 ; 0)\)

Étapes :

1. Formule générale d’une droite :

   L’équation d’une droite peut s’écrire sous la forme : \[ y = mx + p \] où \(m\) est la pente et \(p\) l’ordonnée à l’origine.

2. Utilisation du point donné :

   Nous connaissons la pente \(m = -\frac{1}{2}\) et un point par lequel passe la droite, \(A(-3 ; 0)\).

   Substituons ces valeurs dans l’équation : \[ 0 = -\frac{1}{2} \times (-3) + p \]

3. Résolution pour \(p\) : \[ 0 = \frac{3}{2} + p \] \[ p = -\frac{3}{2} \]

4. Équation de \(d_{1}\) : \[ d_{1} : y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \]

2. Détermination de l’équation de la droite \(d_{2}\)

Données : - Parallèle à \(d_{1}\) - Ordonnée à l’origine \(p = 1\)

Étapes :

1. Pente d’une droite parallèle :

   Deux droites parallèles ont la même pente. Donc, la pente de \(d_{2}\) est également : \[ m = -\frac{1}{2} \]

2. Utilisation de l’ordonnée à l’origine :

   Puisque l’ordonnée à l’origine est \(p = 1\), l’équation de \(d_{2}\) est directement : \[ d_{2} : y = -\frac{1}{2}x + 1 \]

3. Détermination de l’équation de la droite \(d_{3}\)

Données : - Perpendiculaire à \(d_{2}\) - Même ordonnée à l’origine que \(d_{2}\), donc \(p = 1\)

Étapes :

1. Pente d’une droite perpendiculaire :

   Deux droites perpendiculaires ont des pentes dont le produit est égal à \(-1\). Si la pente de \(d_{2}\) est \(m = -\frac{1}{2}\), alors la pente \(m'\) de \(d_{3}\) est : \[ m' = -\frac{1}{m} = -\left(-\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \]

2. Utilisation de l’ordonnée à l’origine :

   Puisque \(d_{3}\) a la même ordonnée à l’origine que \(d_{2}\), \(p = 1\). L’équation de \(d_{3}\) est donc : \[ d_{3} : y = 2x + 1 \]

Résumé des équations

• Droite \(d_{1}\) : \[ d_{1} : y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \]

• Droite \(d_{2}\) : \[ d_{2} : y = -\frac{1}{2}x + 1 \]

• Droite \(d_{3}\) : \[ d_{3} : y = 2x + 1 \]

Ces équations permettent de tracer les trois droites sur un même système de coordonnées selon les conditions données.