Calculez l’aire du jardin lorsque sa largeur est de 5 m.
Pour quelle valeur de \(x\) l’aire du jardin est égale à \(60\,\text{m}^2\) ?
Écrivez l’expression fonctionnelle qui associe à la largeur \(x\) du jardin l’aire totale.
Représentez graphiquement cette fonction.
À partir de la représentation graphique, déterminez une valeur approchée de \(x\) pour laquelle l’aire totale du jardin est égale à \(40\,\text{m}^2\).
On admet que le jardin est rectangulaire et que sa longueur est égale à la largeur augmentée de 4 m. Autrement dit, si on note x la largeur (en m), la longueur est (x + 4) m. L’aire A du jardin s’exprime donc par la formule :
A(x) = largeur × longueur = x · (x + 4) = x² + 4x (1)
Nous allons maintenant résoudre chacune des questions étape par étape.
────────────────────────────── (a) Calcul de l’aire lorsque la largeur est de 5 m
I. On prend x = 5 dans (1) : A(5) = 5² + 4 × 5
Calcul : 5² = 25 et 4×5 = 20
Donc, A(5) = 25 + 20 = 45 m²
La réponse à la question (a) est : l’aire du jardin est de 45 m².
────────────────────────────── (b) Pour quelle valeur de x l’aire est égale à 60 m² ?
I. On part de l’équation (1) en posant A(x) = 60 : x² + 4x = 60
On écrit l’équation sous forme d’équation du second degré en ramenant 60 de l’autre côté : x² + 4x − 60 = 0
Pour résoudre cette équation, on peut calculer le discriminant Δ : Δ = b² − 4ac, avec a = 1, b = 4 et c = −60. Ainsi, Δ = 4² − 4 × 1 × (−60) = 16 + 240 = 256
Puis, on utilise la formule quadratique : x = [ −b ± √Δ ] / (2a) = [ −4 ± √256 ] / 2 = [ −4 ± 16 ] / 2
V. On obtient deux solutions : • x = (−4 + 16) / 2 = 12 / 2 = 6 • x = (−4 − 16) / 2 = (−20) / 2 = −10
La réponse à la question (b) est : x = 6 m.
────────────────────────────── (c) Expression fonctionnelle de l’aire en fonction de x
Nous avons déjà obtenu l’expression (1) en introduisant les dimensions du jardin :
A(x) = x(x + 4) = x² + 4x
La réponse à la question (c) est donc : A(x) = x² + 4x.
────────────────────────────── (d) Représentation graphique
Pour représenter graphiquement la fonction A(x) = x² + 4x :
Cette fonction est un polynôme du second degré dont le graphique est une parabole tournée vers le haut (car le coefficient de x² est positif).
Son sommet se trouve en calculant : xₛ = −b/(2a) = −4/(2 × 1) = −2 A(xₛ) = (−2)² + 4 × (−2) = 4 − 8 = −4
Le sommet de la parabole est donc le point (−2 ; −4).
Cependant, pour un problème de géométrie physique (dimensions d’un jardin), seules les valeurs x ≥ 0 ont un sens. Ainsi, on trace la parabole pour x positif à partir de 0.
On peut aussi calculer quelques points supplémentaires : • Pour x = 0 : A(0) = 0² + 4×0 = 0 (origine) • Pour x = 2 : A(2) = 2² + 4×2 = 4 + 8 = 12 • Pour x = 5 : A(5) = 25 + 20 = 45 (calculé précédemment) • Pour x = 6 : A(6) = 6² + 4×6 = 36 + 24 = 60 (point de la question b)
On trace ensuite la courbe passant par ces points. L’axe des abscisses représente la largeur x (en m) et l’axe des ordonnées représente l’aire A en m².
La représentation graphique de A(x) = x² + 4x est donc une parabole tournée vers le haut, passant par (0 ; 0), (2 ; 12), (5 ; 45) et (6 ; 60).
────────────────────────────── (e) Valeur approchée de x pour laquelle l’aire est égale à 40 m²
I. On impose A(x) = 40 : x² + 4x = 40
On forme l’équation : x² + 4x − 40 = 0
Calcul du discriminant Δ : Δ = 4² − 4 × 1 × (−40) = 16 + 160 = 176
Application de la formule quadratique : x = [ −4 ± √176 ] / 2
V. La solution positive est : x = (−4 + √176) / 2
Pour obtenir une valeur approchée, calculons √176 : √176 = √(16×11) = 4√11 ≈ 4 × 3,316 = 13,264
Ainsi : x ≈ (−4 + 13,264) / 2 = 9,264 / 2 ≈ 4,632
La réponse à la question (e) est : x ≈ 4,63 m.
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses
Cette correction détaille toutes les étapes de la démarche pour répondre aux différentes questions de l’exercice.