Question :
Peux-tu prévoir le nombre d’oranges qui seront détériorées après 10 semaines ? Et après \(n\) semaines ?
Peux-tu prévoir le nombre de bananes qui seront détériorées après 10 semaines ? Et après \(n\) semaines ?
Après 10 semaines, 50 oranges et 30 bananes seront détériorées. En général, après \(n\) semaines, \(5n\) oranges et \(3n\) bananes se détériorent selon des progressions arithmétiques.
Les oranges, soigneusement stockées dans un grand panier au début de décembre, se détériorent progressivement chaque semaine. L’évolution du nombre d’oranges détériorées au cours des premières semaines est donnée.
Question : 1. Prévoir le nombre d’oranges qui seront détériorées après 10 semaines. 2. Prévoir le nombre d’oranges qui seront détériorées après \(n\) semaines.
Pour résoudre ce problème, nous allons suivre les étapes suivantes :
Étape 1 : Analyser les données initiales
Supposons que les premières semaines montrent le nombre d’oranges détériorées de la manière suivante :
| Semaine | Oranges détériorées |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 2 | 10 |
| 3 | 15 |
| 4 | 20 |
| 5 | 25 |
On observe que chaque semaine, 5 oranges supplémentaires se détériorent par rapport à la semaine précédente.
Étape 2 : Déterminer la relation mathématique
La progression observée est une progression arithmétique, où chaque terme augmente d’une valeur constante par rapport au précédent.
La formule générale d’une progression arithmétique est : \[ a_n = a_1 + (n - 1) \times d \] où : - \(a_n\) est le nombre d’oranges détériorées à la semaine \(n\), - \(a_1\) est le nombre d’oranges détériorées à la première semaine, - \(d\) est la différence commune (le nombre d’oranges qui se détériorent chaque semaine), - \(n\) est le numéro de la semaine.
Dans notre cas : - \(a_1 = 5\) (à la première semaine, 5 oranges se détériorent), - \(d = 5\) (chaque semaine, 5 oranges supplémentaires se détériorent).
Donc, la formule devient : \[ a_n = 5 + (n - 1) \times 5 \]
Simplifions cette expression : \[ a_n = 5 + 5n - 5 = 5n \] Ainsi, la formule simplifiée est : \[ a_n = 5n \]
Étape 3 : Appliquer la formule
Après 10 semaines (\(n = 10\)) : \[ a_{10} = 5 \times 10 = 50 \] Donc, 50 oranges seront détériorées après 10 semaines.
Après \(n\) semaines : \[ a_n = 5n \] Ainsi, après \(n\) semaines, \(5n\) oranges seront détériorées.
Les bananes, stockées au même endroit que les oranges, se détériorent également chaque semaine. L’évolution du nombre de bananes détériorées au cours des premières semaines est donnée.
Question : 1. Prévoir le nombre de bananes qui seront détériorées après 10 semaines. 2. Prévoir le nombre de bananes qui seront détériorées après \(n\) semaines.
Nous allons suivre une démarche similaire à celle de la partie a).
Étape 1 : Analyser les données initiales
Supposons que les premières semaines montrent le nombre de bananes détériorées de la manière suivante :
| Semaine | Bananes détériorées |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 9 |
| 4 | 12 |
| 5 | 15 |
On observe que chaque semaine, 3 bananes supplémentaires se détériorent par rapport à la semaine précédente.
Étape 2 : Déterminer la relation mathématique
La progression observée est également une progression arithmétique, où chaque terme augmente d’une valeur constante.
La formule générale est : \[ b_n = b_1 + (n - 1) \times d \] où : - \(b_n\) est le nombre de bananes détériorées à la semaine \(n\), - \(b_1 = 3\), - \(d = 3\).
Simplifions cette formule : \[ b_n = 3 + (n - 1) \times 3 = 3 + 3n - 3 = 3n \] Ainsi, la formule simplifiée est : \[ b_n = 3n \]
Étape 3 : Appliquer la formule
Après 10 semaines (\(n = 10\)) : \[ b_{10} = 3 \times 10 = 30 \] Donc, 30 bananes seront détériorées après 10 semaines.
Après \(n\) semaines : \[ b_n = 3n \] Ainsi, après \(n\) semaines, \(3n\) bananes seront détériorées.
En analysant l’évolution des oranges et des bananes, nous avons identifié qu’elles se détériorent de manière linéaire chaque semaine, suivant des progressions arithmétiques. En déterminant la formule générale pour chaque fruit, nous pouvons facilement prévoir le nombre d’unités détériorées après un certain nombre de semaines.