Question : Soient \(h\) et \(k\) deux fonctions affines telles que :
\[ \begin{gathered} h(0) = -3 \quad \text{et} \quad h(4) = 9, \\ k(0) = 4 \quad \text{et} \quad k(4) = -8. \end{gathered} \]
Quelles sont les ordonnées à l’origine \(b_h\) et \(b_k\) de chaque fonction ?
Détermine les fonctions \(h\) et \(k\).
Résumé :
Nous allons résoudre cet exercice en deux parties. Commençons par la première question.
Une fonction affine est une fonction de la forme : \[ f(x) = m x + b \] où : - \(m\) est le coefficient directeur, - \(b\) est l’ordonnée à l’origine (c’est-à-dire la valeur de la fonction lorsque \(x = 0\)).
On nous donne : \[ h(0) = -3 \]
En remplaçant \(x\) par 0 dans l’expression générale de la fonction affine : \[ h(0) = m_h \cdot 0 + b_h = b_h \]
Donc : \[ b_h = h(0) = -3 \]
On nous donne : \[ k(0) = 4 \]
De même, en remplaçant \(x\) par 0 : \[ k(0) = m_k \cdot 0 + b_k = b_k \]
Donc : \[ b_k = k(0) = 4 \]
Réponse à la partie a : - L’ordonnée à l’origine de \(h\) est \(b_h = -3\). - L’ordonnée à l’origine de \(k\) est \(b_k = 4\).
Nous avons déjà trouvé les ordonnées à l’origine pour \(h\) et \(k\). Il nous reste à déterminer les coefficients directeurs \(m_h\) et \(m_k\).
On connaît deux points : - \((0, h(0)) = (0, -3)\) - \((4, h(4)) = (4, 9)\)
Nous pouvons utiliser la formule du coefficient directeur pour une droite passant par deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) : \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Appliquons cela à \(h\) : \[ m_h = \frac{h(4) - h(0)}{4 - 0} = \frac{9 - (-3)}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]
Ainsi, l’expression de la fonction \(h\) est : \[ h(x) = 3x - 3 \]
On connaît également deux points : - \((0, k(0)) = (0, 4)\) - \((4, k(4)) = (4, -8)\)
Calculons le coefficient directeur \(m_k\) : \[ m_k = \frac{k(4) - k(0)}{4 - 0} = \frac{-8 - 4}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \]
Ainsi, l’expression de la fonction \(k\) est : \[ k(x) = -3x + 4 \]
Réponse à la partie b : - La fonction \(h\) est donnée par : \[ h(x) = 3x - 3 \] - La fonction \(k\) est donnée par : \[ k(x) = -3x + 4 \]
Résumé : - Partie a : \(b_h = -3\) et \(b_k = 4\). - Partie b : - \(h(x) = 3x - 3\) - \(k(x) = -3x + 4\)