Question : Soit \(m\) une fonction linéaire telle que \(m(5) = 8\).
Est-il possible que \(m(-3) = -4\) ? Justifiez.
La fonction linéaire \(m(x) = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\) satisfait \(m(5) = 8\) et \(m(-3) = -4\).
Correction détaillée :
Pour déterminer si une fonction linéaire \(m\) satisfait les conditions \(m(5) = 8\) et \(m(-3) = -4\), suivons les étapes suivantes.
Une fonction linéaire s’exprime sous la forme : \[ m(x) = ax + b \] où \(a\) est le coefficient directeur et \(b\) est l’ordonnée à l’origine.
En remplaçant \(x\) par 5 dans l’expression de \(m(x)\), on obtient : \[ m(5) = a \times 5 + b = 8 \] \[ 5a + b = 8 \quad \text{(Équation 1)} \]
De même, en remplaçant \(x\) par -3 : \[ m(-3) = a \times (-3) + b = -4 \] \[ -3a + b = -4 \quad \text{(Équation 2)} \]
Nous avons maintenant le système suivant : \[ \begin{cases} 5a + b = 8 \quad \text{(Équation 1)} \\ -3a + b = -4 \quad \text{(Équation 2)} \end{cases} \]
Pour éliminer \(b\), soustrayons l’Équation 2 de l’Équation 1 : \[ (5a + b) - (-3a + b) = 8 - (-4) \] \[ 5a + b + 3a - b = 12 \] \[ 8a = 12 \] \[ a = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]
Maintenant que nous avons la valeur de \(a\), substituons-la dans l’Équation 1 pour trouver \(b\) : \[ 5 \times \frac{3}{2} + b = 8 \] \[ \frac{15}{2} + b = 8 \] \[ b = 8 - \frac{15}{2} = \frac{16}{2} - \frac{15}{2} = \frac{1}{2} \]
Avec \(a = \frac{3}{2}\) et \(b = \frac{1}{2}\), la fonction linéaire est : \[ m(x) = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \]
Vérifions les conditions initiales : - Pour \(x = 5\) : \[ m(5) = \frac{3}{2} \times 5 + \frac{1}{2} = \frac{15}{2} + \frac{1}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] - Pour \(x = -3\) : \[ m(-3) = \frac{3}{2} \times (-3) + \frac{1}{2} = -\frac{9}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{8}{2} = -4 \]
Les valeurs de \(a\) et \(b\) permettent de satisfaire les deux conditions données. Ainsi, il est possible que \(m(-3) = -4\) pour une fonction linéaire \(m\) telle que \(m(5) = 8\).