Exercice 87

Représenter graphiquement l’ensemble

\[ \{(x, y) \mid 2x - 5y = 5\} \]

Réponse

La droite représentant l’ensemble \(\{(x, y) \mid 2x - 5y = 5\}\) passe par les points \((0, -1)\) et \(\left(\frac{5}{2}, 0\right)\). En traçant ces points sur un plan cartésien et en les reliant, on obtient la représentation graphique souhaitée.

Corrigé détaillé

Correction

Pour représenter graphiquement l’ensemble \[ \{(x, y) \mid 2x - 5y = 5\}, \] suivons les étapes ci-dessous.

Étape 1 : Comprendre l’équation

L’équation donnée est linéaire et peut être mise sous la forme standard d’une droite dans le plan cartésien. Elle est de la forme \[ 2x - 5y = 5. \] Notre objectif est de trouver les points \((x, y)\) qui satisfont cette équation et de les représenter sur un graphique.

Étape 2 : Trouver des points appartenant à la droite

Pour tracer une droite, il suffit de trouver deux points distincts qui vérifient l’équation.

a) Trouver le point où la droite coupe l’axe des ordonnées (\(x = 0\))

Substituons \(x = 0\) dans l’équation : \[ 2(0) - 5y = 5 \\ 0 - 5y = 5 \\ -5y = 5 \\ y = -1. \] Ainsi, le premier point est \((0, -1)\).

b) Trouver le point où la droite coupe l’axe des abscisses (\(y = 0\))

Substituons \(y = 0\) dans l’équation : \[ 2x - 5(0) = 5 \\ 2x = 5 \\ x = \frac{5}{2}. \] Ainsi, le deuxième point est \(\left(\frac{5}{2}, 0\right)\).

Étape 3 : Tracer la droite sur le plan cartésien

1. Tracer les axes de coordonnées : Dessinez un repère orthonormé avec un axe horizontal (\(x\)) et un axe vertical (\(y\)).

2. Placer les points trouvés :

   • Placez le point \((0, -1)\) sur l’axe des ordonnées, à \(-1\) unité du point d’origine.
   • Placez le point \(\left(\frac{5}{2}, 0\right)\) sur l’axe des abscisses, à \(2.5\) unités du point d’origine.

3. Relier les points : Utilisez une règle pour tracer une droite droite passant par les deux points. Cette droite représente l’ensemble des solutions de l’équation \(2x - 5y = 5\).

Résultat

La représentation graphique de l’ensemble \(\{(x, y) \mid 2x - 5y = 5\}\) est une droite passant par les points \((0, -1)\) et \(\left(\frac{5}{2}, 0\right)\).

Voici un schéma illustrant cette droite :

(Remplacez par une image appropriée si nécessaire)

Vérification

Pour s’assurer que la droite est correctement tracée, on peut vérifier avec un autre point. Par exemple, choisissons \(x = 5\) :

\[ 2(5) - 5y = 5 \\ 10 - 5y = 5 \\ -5y = -5 \\ y = 1. \]

Le point \((5, 1)\) doit également appartenir à la droite. Vérifiez sur le graphique que ce point se trouve bien sur la droite tracée.

Ainsi, la représentation graphique est correcte et complète.