Exercice 86

Placer sur un même système d’axes les points \(A(-6; 2)\), \(B(2; 8)\), \(C(5; 5)\) et \(D(7; -3)\).

1. Construire le milieu \(M\) du segment \(AB\) et le milieu \(N\) du segment \(CD\).
2. Donner la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de la droite \(MN\).

Réponse

M(–2 ; 5) et N(6 ; 1) ; la droite passant par ces points a pour équation y = (–1/2)x + 4.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre l’exercice en plusieurs étapes, en commençant par placer les points et en construisant les milieux des segments, puis en déterminant la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de la droite passant par ces milieux.

────────────────────────────── 1. Calcul des milieux M et N

1. Calcul du milieu du segment AB
   Les coordonnées de A et B sont respectivement A(–6 ; 2) et B(2 ; 8).
   Le milieu M de AB a pour coordonnées :
    x₍M₎ = (x₍A₎ + x₍B₎) / 2 = (–6 + 2) / 2
         = (–4) / 2 = –2
    y₍M₎ = (y₍A₎ + y₍B₎) / 2 = (2 + 8) / 2
         = 10 / 2 = 5
   Donc, M a pour coordonnées (–2 ; 5).

2. Calcul du milieu du segment CD
   Les coordonnées de C et D sont respectivement C(5 ; 5) et D(7 ; –3).
   Le milieu N de CD se calcule comme suit :
    x₍N₎ = (x₍C₎ + x₍D₎) / 2 = (5 + 7) / 2
         = 12 / 2 = 6
    y₍N₎ = (y₍C₎ + y₍D₎) / 2 = (5 + (–3)) / 2
         = 2 / 2 = 1
   Donc, N a pour coordonnées (6 ; 1).

────────────────────────────── 2. Calcul de la pente, de l’ordonnée à l’origine et de l’équation de la droite MN

1. Détermination de la pente (coefficient directeur)
   La pente d’une droite passant par deux points M(x₁, y₁) et N(x₂, y₂) se calcule à l’aide de la formule :
    m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

En utilisant M(–2 ; 5) et N(6 ; 1) :
 m = (1 – 5) / (6 – (–2))
   = (–4) / (6 + 2)
   = –4 / 8
   = –1/2

2. Détermination de l’ordonnée à l’origine
   L’équation de la droite peut s’écrire sous la forme :
    y = m x + b
   où m est la pente et b l’ordonnée à l’origine.
   Nous connaissons déjà m = –1/2. Pour trouver b, on peut utiliser l’un des deux points, ici le point M(–2 ; 5).

En substituant dans l’équation :
 5 = (–1/2) × (–2) + b
 Calculons (–1/2) × (–2) :
  = 1
Donc :
 5 = 1 + b
 On trouve b = 5 – 1 = 4

3. Écriture de l’équation de la droite MN
   En remplaçant m et b dans l’équation :
    y = (–1/2)x + 4

────────────────────────────── Conclusion

• Les milieux sont :
 M(–2 ; 5) pour le segment AB
 N(6 ; 1) pour le segment CD

• La droite passant par M et N a :
 – une pente de –1/2
 – une ordonnée à l’origine de 4
 – et son équation est : y = (–1/2)x + 4

Cette démarche vous permet de situer graphiquement les points ainsi que la droite qui relie les milieux des segments.