Exercice 85
Représenter graphiquement les applications suivantes :
\(f\), définie sur \(\mathbb{N}\) par \(f(x) = x + 1\)
\(g\), définie sur \(\mathbb{Z}\) par \(g(x) = x + 1\)
\(h\), définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = x + 1\).
Réponse
Résumé de la correction :
- Fonction \(f\) sur \(\mathbb{N}\) : Représentée par des points discrets alignés sur la droite \(y = x + 1\).
- Fonction \(g\) sur \(\mathbb{Z}\) : Similaire à \(f\), avec des points discrets pour tous les entiers relatifs sur \(y = x + 1\).
- Fonction \(h\) sur \(\mathbb{R}\) : Représentée par une droite continue \(y = x + 1\).
Chaque représentation illustre comment \(x + 1\) se comporte différemment selon que le domaine est discret (naturels ou entiers) ou continu (réels).
Corrigé détaillé
Correction détaillée des exercices de représentation graphique
Nous allons aborder chaque application une par une en déterminant leur domaine, codomaine, et en décrivant la méthode pour les représenter graphiquement.
1) Fonction \(f\), définie sur \(\mathbb{N}\) par \(f(x) = x + 1\)
Étape 1 : Comprendre la fonction
- Domaine : \(\mathbb{N}\) représente les nombres naturels, c’est-à-dire \(\{0, 1, 2, 3, \ldots\}\).
- Codomaine : Comme \(f(x) = x + 1\), le codomaine est également \(\mathbb{N}\).
- Type de fonction : C’est une fonction linéaire où chaque élément du domaine est augmenté de 1.
Étape 2 : Créer le tableau de valeurs
Calculons \(f(x)\) pour quelques valeurs de \(x\) dans \(\mathbb{N}\):
| \(x\) | \(f(x) = x + 1\) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
| … | … |
Étape 3 : Représentation graphique
- Axe des abscisses (x) : Représente les nombres naturels \(x = 0, 1, 2, \ldots\).
- Axe des ordonnées (y) : Représente les valeurs \(y = f(x) = x + 1\).
- Points : Pour chaque paire \((x, f(x))\), tracez un point discret. Par exemple, les points seront \((0,1)\), \((1,2)\), \((2,3)\), etc.
- Graphique : Les points seront alignés de manière ascendante, mais seuls ces points spécifiques sont représentés, car le domaine est discret.
Illustration :
\[ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ \vdots & \vdots \\ \end{array} \]
(Imaginez un graphique avec des points isolés le long de la ligne \(y = x + 1\))
2) Fonction \(g\), définie sur \(\mathbb{Z}\) par \(g(x) = x + 1\)
Étape 1 : Comprendre la fonction
- Domaine : \(\mathbb{Z}\) représente les entiers relatifs, c’est-à-dire \(\{ \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \}\).
- Codomaine : Également \(\mathbb{Z}\), puisque \(g(x) = x + 1\).
- Type de fonction : Fonction linéaire où chaque entier est augmenté de 1.
Étape 2 : Créer le tableau de valeurs
Calculons \(g(x)\) pour quelques valeurs de \(x\) dans \(\mathbb{Z}\):
| \(x\) | \(g(x) = x + 1\) |
|---|---|
| -3 | -2 |
| -2 | -1 |
| -1 | 0 |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
| … | … |
Étape 3 : Représentation graphique
- Axe des abscisses (x) : Représente tous les entiers \(x\) (positifs et négatifs).
- Axe des ordonnées (y) : Représente les valeurs \(y = g(x) = x + 1\).
- Points : Pour chaque entier \(x\), tracez le point \((x, x + 1)\). Par exemple, \((-1, 0)\), \((0,1)\), \((1,2)\), etc.
- Graphique : Les points sont alignés le long de la droite \(y = x + 1\), illustrant une progression linéaire avec des points accessibles pour chaque entier.
Illustration :
\[ \begin{array}{c|c} x & g(x) \\ \hline -3 & -2 \\ -2 & -1 \\ -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \vdots & \vdots \\ \end{array} \]
(Visualisez une droite passant par ces points, s’étendant à gauche et à droite indéfiniment avec des points marqués pour chaque entier)
3) Fonction \(h\), définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = x + 1\)
Étape 1 : Comprendre la fonction
- Domaine : \(\mathbb{R}\) représente l’ensemble des nombres réels, incluant tous les nombres rationnels et irrationnels.
- Codomaine : Également \(\mathbb{R}\), puisque \(h(x) = x + 1\).
- Type de fonction : Fonction linéaire continue, sans interruption.
Étape 2 : Créer le tableau de valeurs
Pour une fonction sur \(\mathbb{R}\), il n’est pas pratique de lister toutes les valeurs. On identifie plutôt la pente et l’ordonnée à l’origine.
- Forme de la droite : \(y
= x + 1\)
- Pente : 1 (pour chaque unité augmentée en \(x\), \(y\) augmente aussi de 1).
- Ordonnée à l’origine : 1 (le point où la droite coupe l’axe des ordonnées).
Étape 3 : Représentation graphique
- Axe des abscisses (x) : Représente tous les nombres réels.
- Axe des ordonnées (y) : Représente tous les nombres réels.
- Droite : Tracez une ligne droite passant par le point \((0,1)\) avec une pente de 1. Cela signifie que la droite monte uniformément de gauche à droite.
- Caractéristiques :
- La droite est infinie dans les deux directions.
- Chaque point sur la droite satisfait l’équation \(y = x + 1\).
Illustration :
\[ y = x + 1 \]
(Imaginez une droite droite passant par (0,1) et inclinée à 45 degrés par rapport aux axes, s’étendant sans fin dans les directions positives et négatives des axes)
Résumé
- Fonction \(f\) : Représentation par des points discrets sur la droite \(y = x + 1\), pour \(x\) appartenant aux naturels.
- Fonction \(g\) : Représentation par des points discrets sur la droite \(y = x + 1\), pour \(x\) appartenant aux entiers relatifs.
- Fonction \(h\) : Représentation par une droite continue \(y = x + 1\), couvrant tous les réels.
Chacune de ces représentations illustre comment la fonction \(x + 1\) agit différemment selon le domaine de définition, que ce soit sur un ensemble discret (\(\mathbb{N}\) ou \(\mathbb{Z}\)) ou sur un ensemble continu (\(\mathbb{R}\)).