Question :
Exercice : Chaque élève d’une classe dessine un rectangle dont l’aire est de \(90\, \mathrm{cm}^{2}\). Exprime une dimension en fonction de l’autre.
Exercice : Dans un tournoi de natation en individuel, à chaque tour, les nageurs éliminés quittent la compétition. Exprime le nombre total de participants en fonction du nombre de tours.
Exercice : Dans un championnat de rugby, chaque équipe affronte toutes les autres équipes une seule fois. Exprime le nombre total de matches du championnat en fonction du nombre d’équipes inscrites.
Nous allons traiter chaque question séparément en détaillant les étapes de raisonnement.
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a) Chaque élève dessine un rectangle dont l’aire est de 90 cm².
Pour un rectangle, l’aire (A) se calcule en multipliant deux dimensions
(longueur et largeur). On note par x et y ces deux dimensions. On a
alors :
A = x × y
Ici, l’aire est donnée :
90 = x × y
L’objectif est d’exprimer l’une des dimensions en fonction de l’autre. Par exemple, nous allons isoler x :
x = 90 / y
Ainsi, la longueur x s’exprime en fonction de la largeur y par la
relation :
x = 90/y
(on peut aussi écrire y = 90/x si l’on préfère).
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b) Dans un tournoi de natation en individuel, à chaque tour, les nageurs
éliminés quittent la compétition.
Dans un tournoi à élimination directe, à la fin de la compétition, il ne
reste qu’un seul vainqueur. De plus, dans chaque tour, tous les nageurs
s’affrontent par paires et le perdant de chaque confrontation est
éliminé. Ainsi, si l’on commence avec un nombre total de participants
égal à n, ce nombre est réduit de moitié à chaque tour (dans le cas
idéal où n est une puissance de 2).
Remarquons alors qu’après 1 tour, il reste n/2 compétiteurs ; après 2
tours, n/4 ; et ainsi de suite. Si l’on note t le nombre de tours
effectués, le nombre de nageurs restants après t tours est :
n/(2^t)
Pour obtenir un unique vainqueur, nous devons avoir :
n/(2^t) = 1
En multipliant des deux côtés par 2^t, nous obtenons :
n = 2^t
Ainsi, le nombre total de participants en fonction du nombre de tours
t est :
n = 2^t
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c) Dans un championnat de rugby, chaque équipe affronte toutes les
autres équipes une seule fois.
Ici, le problème consiste à compter le nombre de rencontres quand on
forme des paires d’équipes parmi un ensemble de n équipes.
Pour chaque équipe, le nombre de matchs qu’elle doit jouer contre les autres équipes est (n – 1) (puisqu’elle ne joue pas contre elle-même). Cependant, en comptant ainsi pour toutes les équipes, chaque match est comptabilisé deux fois (une fois pour chaque équipe participante). Pour obtenir le nombre exact de rencontres, on divise par 2. On obtient alors la formule :
Nombre de matchs = [n × (n – 1)] / 2
Cette formule exprime le nombre total de matchs en fonction du nombre n d’équipes inscrites.
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Récapitulatif des réponses :
a) x = 90/y (ou équivalent y = 90/x)
b) Nombre total de participants n = 2^t, où t représente le nombre de tours.
c) Nombre total de matchs = [n × (n – 1)] / 2
Ces raisonnements se basent sur les formules géométriques et combinatoires, et ils permettent de répondre aux questions posées de façon claire et détaillée.