Exercice 81

Représenter graphiquement l’ensemble

\[ \{\, (x, y) \mid x + 2y = 0 \,\}. \]

Réponse

Pour représenter graphiquement l’ensemble \(\{\, (x, y) \mid x + 2y = 0 \,\}\), on réécrit l’équation en \(y = -\frac{1}{2}x\). La droite a une pente de \(-\frac{1}{2}\) et passe par les points \((0, 0)\) et \((2, -1)\). En traçant ces points et en reliant par une droite, on obtient la représentation graphique souhaitée.

Corrigé détaillé

Pour représenter graphiquement l’ensemble

\[ \{\, (x, y) \mid x + 2y = 0 \,\}, \]

suivons les étapes ci-dessous :

1. Comprendre l’équation

L’équation donnée est \(x + 2y = 0\). Cette équation représente une droite dans le plan cartésien où chaque point \((x, y)\) satisfait cette relation.

2. Mettre l’équation sous forme \(y = mx + b\)

Pour tracer la droite plus facilement, exprimons \(y\) en fonction de \(x\):

\[ x + 2y = 0 \\ \Rightarrow 2y = -x \\ \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x \]

Ainsi, l’équation devient \(y = -\frac{1}{2}x\).

3. Identifier la pente et l’ordonnée à l’origine

L’équation \(y = mx + b\) est la forme générale d’une droite, où : - \(m\) est la pente de la droite. - \(b\) est l’ordonnée à l’origine (le point où la droite coupe l’axe des ordonnées \(y\)).

Dans notre équation : - La pente \(m = -\frac{1}{2}\). - L’ordonnée à l’origine \(b = 0\).

4. Déterminer deux points pour tracer la droite

Pour tracer la droite, sélectionnons deux valeurs de \(x\) pour trouver les valeurs correspondantes de \(y\).

a. Lorsque \(x = 0\) :

\[ y = -\frac{1}{2} \times 0 = 0 \\ \Rightarrow (0, 0) \]

b. Lorsque \(x = 2\) :

\[ y = -\frac{1}{2} \times 2 = -1 \\ \Rightarrow (2, -1) \]

5. Tracer la droite dans le plan cartésien

1. Dessinons un repère avec un axe des abscisses \(x\) et un axe des ordonnées \(y\).
2. Placez les points \((0, 0)\) et \((2, -1)\) sur le repère.
3. Reliez ces deux points par une droite droite.

6. Vérification

Pour s’assurer que la droite est correctement tracée, choisissons un autre point et vérifions s’il satisfait l’équation.

Par exemple, \(x = -2\) :

\[ y = -\frac{1}{2} \times (-2) = 1 \\ \Rightarrow (-2, 1) \]

Vérifions dans l’équation originale : \[ -2 + 2 \times 1 = -2 + 2 = 0 \quad \text{✓} \]

Le point \((-2, 1)\) se trouve également sur la droite, ce qui confirme que notre tracé est correct.

7. Résultat final

La représentation graphique de l’ensemble \(\{\, (x, y) \mid x + 2y = 0 \,\}\) est une droite passant par les points \((0, 0)\), \((2, -1)\) et \((-2, 1)\), avec une pente de \(-\frac{1}{2}\).

Voici à quoi ressemble la droite :

(Remplacez par un graphique approprié si nécessaire)