Dans un groupe de neuf élèves, chacun utilise une méthode différente pour générer une suite de nombres :
Lequel de ces élèves atteindra le premier les deux millions, et en combien d’étapes ?
Thomas est l’élève qui atteindra en premier les deux millions, en seulement 7 étapes.
Nous devons déterminer quel élève atteindra en premier les deux millions (2 000 000) en utilisant sa méthode de génération de suite, et en combien d’étapes il y parviendra.
Analysons les méthodes de chaque élève une par une.
Méthode : Commencer à 2 et ajouter le nombre précédent pour obtenir le suivant.
Interprétation : Cela ressemble à la suite de Fibonacci où chaque terme est la somme des deux précédents. Cependant, comme Lucas commence à 2, définissons les deux premiers termes :
Ensuite, chaque terme suivant est la somme des deux précédents :
\[ \begin{align*} a_3 &= a_2 + a_1 = 2 + 2 = 4 \\ a_4 &= a_3 + a_2 = 4 + 2 = 6 \\ a_5 &= a_4 + a_3 = 6 + 4 = 10 \\ a_6 &= 10 + 6 = 16 \\ a_7 &= 16 + 10 = 26 \\ a_8 &= 26 + 16 = 42 \\ a_9 &= 42 + 26 = 68 \\ a_{10} &= 68 + 42 = 110 \\ \end{align*} \]
Conclusion : La suite croît de manière exponentielle mais très lentement. Il faudra de nombreuses étapes pour atteindre 2 000 000.
Méthode : Commencer à 3 et ajouter 2 à chaque étape.
Suite : Il s’agit d’une suite arithmétique où chaque terme augmente de 2.
\[ a_n = 3 + 2(n - 1) \]
Pour atteindre 2 000 000 :
\[ 3 + 2(n - 1) \geq 2\,000\,000 \\ 2(n - 1) \geq 1\,999\,997 \\ n - 1 \geq 999\,998.5 \\ n \geq 999\,999.5 \]
Conclusion : 1 000 000 étapes sont nécessaires. C’est un nombre très élevé.
Méthode : Commencer à 1 et ajouter le plus petit nombre pair non encore utilisé à chaque étape.
Suite : Cette méthode ajoute successivement les nombres pairs : 2, 4, 6, 8, …
Ainsi, la suite est :
\[ a_n = 1 + 2 + 4 + 6 + \dots + 2(n - 1) \]
La somme des \(n - 1\) premiers nombres pairs est :
\[ S = (n - 1) \times n \]
Donc :
\[ a_n = 1 + (n - 1) \times n \]
Pour atteindre 2 000 000 :
\[ 1 + n(n - 1) \geq 2\,000\,000 \\ n^2 - n + 1 \geq 2\,000\,000 \\ n^2 - n \geq 1\,999\,999 \\ \]
En approximant :
\[ n^2 \approx 2\,000\,000 \implies n \approx 1414 \]
Conclusion : Environ 1 414 étapes sont nécessaires.
Méthode : Commencer à 5 et ajouter 500 à chaque étape.
Suite : Suite arithmétique avec une différence de 500.
\[ a_n = 5 + 500(n - 1) \]
Pour atteindre 2 000 000 :
\[ 5 + 500(n - 1) \geq 2\,000\,000 \\ 500(n - 1) \geq 1\,999\,995 \\ n - 1 \geq 3\,999.99 \\ n \geq 4\,000.99 \]
Conclusion : 4 001 étapes sont nécessaires.
Méthode : Commencer à 2 et multiplier par 5 à chaque étape.
Suite : Suite géométrique avec un rapport de 5.
\[ a_n = 2 \times 5^{n - 1} \]
Pour atteindre 2 000 000 :
\[ 2 \times 5^{n - 1} \geq 2\,000\,000 \\ 5^{n - 1} \geq 1\,000\,000 \\ \]
Appliquons le logarithme en base 10 :
\[ \log_{10}(5^{n - 1}) \geq \log_{10}(1\,000\,000) \\ (n - 1) \times \log_{10}(5) \geq 6 \\ n - 1 \geq \frac{6}{0.69897} \approx 8.58 \\ n \geq 9.58 \]
Conclusion : 10 étapes sont nécessaires.
Méthode : Commencer à 1 et doubler chaque nombre à chaque étape.
Suite : Suite géométrique avec un rapport de 2.
\[ a_n = 1 \times 2^{n - 1} \]
Pour atteindre 2 000 000 :
\[ 2^{n - 1} \geq 2\,000\,000 \\ \]
Appliquons le logarithme en base 2 :
\[ n - 1 \geq \log_2(2\,000\,000) \approx 20.93 \\ n \geq 21.93 \]
Conclusion : 22 étapes sont nécessaires.
Méthode : Commencer à 4 et multiplier par 4 à chaque étape.
Suite : Suite géométrique avec un rapport de 4.
\[ a_n = 4 \times 4^{n - 1} = 4^n \]
Pour atteindre 2 000 000 :
\[ 4^n \geq 2\,000\,000 \\ \]
Appliquons le logarithme en base 10 :
\[ \log_{10}(4^n) \geq \log_{10}(2\,000\,000) \\ n \times \log_{10}(4) \geq 6.3010 \\ n \geq \frac{6.3010}{0.6020} \approx 10.47 \\ n \geq 11 \]
Conclusion : 11 étapes sont nécessaires.
Méthode : Commencer à \(2 \times 10^{-3}\) et multiplier par 10 à chaque étape.
Suite : Suite géométrique avec un rapport de 10.
\[ a_n = 2 \times 10^{-3} \times 10^{n - 1} = 2 \times 10^{n - 4} \]
Pour atteindre 2 000 000 :
\[ 2 \times 10^{n - 4} \geq 2\,000\,000 \\ 10^{n - 4} \geq 1\,000\,000 \\ n - 4 \geq 6 \\ n \geq 10 \]
Conclusion : 10 étapes sont nécessaires.
Méthode : Commencer à 200, diviser par 2 à la première étape, multiplier par 50 à la deuxième, diviser par 2 à la troisième, etc.
Suite :
Observons le schéma :
Conclusion : 7 étapes sont nécessaires pour atteindre 2 000 000.
| Élève | Nombre d’étapes |
|---|---|
| Lucas | Trop élevé |
| Marie | 1 000 000 |
| Sophie | 1 414 |
| Camille | 4 001 |
| Julien | 10 |
| Élodie | 22 |
| Pierre | 11 |
| Clara | 10 |
| Thomas | 7 |
Thomas est l’élève qui atteindra le premier les deux millions, et cela en 7 étapes.
[Comme ci-dessus.]