Exercice 78

Complète le tableau suivant

	Expression française	Expression fonctionnelle
a)	« ajouter 5 »
b)	« diminuer de 4, puis multiplier par 3 »
c)		\(x \mapsto 2x + 7\)
d)		\(x \mapsto \frac{x - 3}{5}\)
e)	« multiplier par 6, puis soustraire 8 »
f)		\(x \mapsto \sqrt{x + 9}\)
g)	« ajouter 2, puis élever au cube »
h)		\(x \mapsto 4(x - 10)\)
i)	« diviser par 3, puis ajouter 4 »
j)		\(x \mapsto \frac{x}{x+1}\)

Instructions

Complète les cases vides du tableau en fournissant l’expression correspondante. Par exemple, si une expression française est donnée, écris l’expression fonctionnelle correspondante, et vice versa.

Exemple

Si le tableau contient :

	Expression française	Expression fonctionnelle
a)	« ajouter 5 »

La réponse serait :

a) | « ajouter 5 » | \(x \mapsto x + 5\) |

Réponse

La correction associe chaque expression française à son expression fonctionnelle correspondante en traduisant et analysant chaque opération étape par étape, conformément au tableau complété.

Corrigé détaillé

Correction Complète de l’Exercice

Dans cet exercice, nous devons compléter un tableau en associant des expressions françaises à leurs expressions fonctionnelles correspondantes, et vice versa. Chaque ligne du tableau contient soit une expression en français, soit une expression fonctionnelle. Notre tâche est de compléter la colonne vide en traduisant correctement l’expression fournie.

Méthodologie

Pour réussir cet exercice, suivez ces étapes :

Identifier l’expression fournie : Déterminez si l’expression est en français ou fonctionnelle.
Analyser les opérations : Décomposez l’expression en différentes opérations mathématiques.
Traduire en expression fonctionnelle ou française : Utilisez la notation mathématique appropriée pour les expressions fonctionnelles ou décrivez les opérations en français.

Nous allons maintenant appliquer cette méthodologie à chaque ligne du tableau.

Correction Ligne par Ligne

a) « ajouter 5 »

Expression française donnée : « ajouter 5 »

Traduction en expression fonctionnelle :

Comprendre l’opération : Ajouter 5 signifie que nous prenons une variable \(x\) et que nous ajoutons 5 à cette variable.
Écrire l’expression fonctionnelle : \(f(x) = x + 5\)

Complétion du tableau :

a) | « ajouter 5 » | \(f(x) = x + 5\) |

b) « diminuer de 4, puis multiplier par 3 »

Expression française donnée : « diminuer de 4, puis multiplier par 3 »

Traduction en expression fonctionnelle :

Étape 1 : Diminuer de 4 \(\Rightarrow\) \(x - 4\)
Étape 2 : Multiplier par 3 \(\Rightarrow\) \(3(x - 4)\)
Écrire l’expression fonctionnelle : \(f(x) = 3(x - 4)\)

Complétion du tableau :

b) | « diminuer de 4, puis multiplier par 3 » | \(f(x) = 3(x - 4)\) |

c) Expression fonctionnelle donnée : \(x \mapsto 2x + 7\)

Expression fonctionnelle donnée : \(x \mapsto 2x + 7\)

Traduction en expression française :

Analyser l’expression :
- Multiplier par 2 : \(2x\)
- Ajouter 7 : \(2x + 7\)
Décrire les opérations en français : « multiplier par 2, puis ajouter 7 »

Complétion du tableau :

c) | « multiplier par 2, puis ajouter 7 » | \(x \mapsto 2x + 7\) |

d) Expression fonctionnelle donnée : \(x \mapsto \frac{x - 3}{5}\)

Expression fonctionnelle donnée : \(x \mapsto \frac{x - 3}{5}\)

Traduction en expression française :

Analyser l’expression :
- Soustraire 3 : \(x - 3\)
- Diviser par 5 : \(\frac{x - 3}{5}\)
Décrire les opérations en français : « diminuer de 3, puis diviser par 5 »

Complétion du tableau :

d) | « diminuer de 3, puis diviser par 5 » | \(x \mapsto \frac{x - 3}{5}\) |

e) « multiplier par 6, puis soustraire 8 »

Expression française donnée : « multiplier par 6, puis soustraire 8 »

Traduction en expression fonctionnelle :

Étape 1 : Multiplier par 6 \(\Rightarrow\) \(6x\)
Étape 2 : Soustraire 8 \(\Rightarrow\) \(6x - 8\)
Écrire l’expression fonctionnelle : \(f(x) = 6x - 8\)

Complétion du tableau :

e) | « multiplier par 6, puis soustraire 8 » | \(f(x) = 6x - 8\) |

f) Expression fonctionnelle donnée : \(x \mapsto \sqrt{x + 9}\)

Expression fonctionnelle donnée : \(x \mapsto \sqrt{x + 9}\)

Traduction en expression française :

Analyser l’expression :
- Ajouter 9 : \(x + 9\)
- Prendre la racine carrée : \(\sqrt{x + 9}\)
Décrire les opérations en français : « ajouter 9, puis prendre la racine carrée »

Complétion du tableau :

f) | « ajouter 9, puis prendre la racine carrée » | \(x \mapsto \sqrt{x + 9}\) |

g) « ajouter 2, puis élever au cube »

Expression française donnée : « ajouter 2, puis élever au cube »

Traduction en expression fonctionnelle :

Étape 1 : Ajouter 2 \(\Rightarrow\) \(x + 2\)
Étape 2 : Élever au cube \(\Rightarrow\) \((x + 2)^3\)
Écrire l’expression fonctionnelle : \(f(x) = (x + 2)^3\)

Complétion du tableau :

g) | « ajouter 2, puis élever au cube » | \(f(x) = (x + 2)^3\) |

h) Expression fonctionnelle donnée : \(x \mapsto 4(x - 10)\)

Expression fonctionnelle donnée : \(x \mapsto 4(x - 10)\)

Traduction en expression française :

Analyser l’expression :
- Soustraire 10 : \(x - 10\)
- Multiplier par 4 : \(4(x - 10)\)
Décrire les opérations en français : « diminuer de 10, puis multiplier par 4 »

Complétion du tableau :

h) | « diminuer de 10, puis multiplier par 4 » | \(x \mapsto 4(x - 10)\) |

i) « diviser par 3, puis ajouter 4 »

Expression française donnée : « diviser par 3, puis ajouter 4 »

Traduction en expression fonctionnelle :

Étape 1 : Diviser par 3 \(\Rightarrow\) \(\frac{x}{3}\)
Étape 2 : Ajouter 4 \(\Rightarrow\) \(\frac{x}{3} + 4\)
Écrire l’expression fonctionnelle : \(f(x) = \frac{x}{3} + 4\)

Complétion du tableau :

i) | « diviser par 3, puis ajouter 4 » | \(f(x) = \frac{x}{3} + 4\) |

j) Expression fonctionnelle donnée : \(x \mapsto \frac{x}{x+1}\)

Expression fonctionnelle donnée : \(x \mapsto \frac{x}{x+1}\)

Traduction en expression française :

Analyser l’expression :
- Ajouter 1 au dénominateur : \(x + 1\)
- Diviser \(x\) par \(x + 1\) : \(\frac{x}{x + 1}\)
Décrire les opérations en français : « diviser \(x\) par \(x + 1\) »

Complétion du tableau :

j) | « diviser \(x\) par \(x + 1\) » | \(x \mapsto \frac{x}{x+1}\) |

Tableau Complet

Après avoir traduit toutes les expressions, voici le tableau entièrement complété :

	Expression française	Expression fonctionnelle
a)	« ajouter 5 »	\(f(x) = x + 5\)
b)	« diminuer de 4, puis multiplier par 3 »	\(f(x) = 3(x - 4)\)
c)	« multiplier par 2, puis ajouter 7 »	\(x \mapsto 2x + 7\)
d)	« diminuer de 3, puis diviser par 5 »	\(x \mapsto \frac{x - 3}{5}\)
e)	« multiplier par 6, puis soustraire 8 »	\(f(x) = 6x - 8\)
f)	« ajouter 9, puis prendre la racine carrée »	\(x \mapsto \sqrt{x + 9}\)
g)	« ajouter 2, puis élever au cube »	\(f(x) = (x + 2)^3\)
h)	« diminuer de 10, puis multiplier par 4 »	\(x \mapsto 4(x - 10)\)
i)	« diviser par 3, puis ajouter 4 »	\(f(x) = \frac{x}{3} + 4\)
j)	« diviser \(x\) par \(x + 1\) »	\(x \mapsto \frac{x}{x+1}\)

Explications Supplémentaires

Notation \(f(x)\) : Représente une fonction où \(x\) est la variable indépendante.
Notations \(x \mapsto\) : Indique la relation fonctionnelle directe entre \(x\) et l’expression.
Ordre des opérations : Il est crucial de respecter l’ordre des opérations telles que décrites en français pour obtenir l’expression fonctionnelle correcte.

En suivant ces étapes et en analysant chaque opération, vous pouvez facilement traduire entre des expressions françaises et fonctionnelles.

Bonne continuation dans vos études !