Exercice 77

Exercice 1

On dispose des quatre fonctions suivantes et de leurs tableaux de valeurs correspondants :

\[ \begin{aligned} & a: x \mapsto 2x + 5 \\ & b: x \mapsto -x + 4 \\ & c: x \mapsto x^{3} \\ & d: x \mapsto \dfrac{x}{2} \\ \end{aligned} \]

Dans chaque tableau, indiquez à quelle fonction correspond la première ligne.
Complétez les tableaux de valeurs.
Représentez graphiquement chaque fonction.

\(x\)	\(a(x)\)
-2	1
-1
0
1
2
3	11
4

\(x\)	\(b(x)\)
-2
-1	5
0	4
1
2	2
3
4

Exercice 2

Voici quatre fonctions. Trouvez les valeurs manquantes.

\[ \begin{aligned} & a(x) = 4x - 3 \\ & a(3) = \\ & b(x) = x^{2} + 2 \\ & c(x) = -x + 1 \\ & d(x) = \dfrac{3}{2}x \\ & b(-2) = \\ & a(\quad) = 13 \\ & b(\quad) = 18 \\ & c(\quad) = 0 \\ & d(\quad) = 6 \\ \end{aligned} \]

Représentez graphiquement ces fonctions.

Réponse

Exercice 1 : – Le premier tableau représente a(x)=2x+5 (tableau : 1,3,5,7,9,11,13) et le second b(x)=–x+4 (tableau : 6,5,4,3,2,1,0). – On trace les graphes en reportant les points obtenus.

Exercice 2 : – a(3)=9, b(–2)=6 ; a(x)=13 quand x=4. – b(x)=18 pour x=4 ou –4 ; c(x)=0 pour x=1 ; d(x)=6 pour x=4. – Pour chaque fonction, on trace le graphe à partir de quelques points calculés.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en français, en présentant chaque étape du raisonnement.

────────────────────────────── Exercice 1

On vous donne les quatre fonctions suivantes :

• a : x ↦ 2x + 5
• b : x ↦ –x + 4
• c : x ↦ x³
• d : x ↦ x/2

On vous présente ensuite deux tableaux de valeurs et la consigne est :

a) Dans chaque tableau, indiquez à quelle fonction correspond la première ligne.
b) Complétez les tableaux de valeurs.
c) Représentez graphiquement chaque fonction.

────────────────────────────── 1-a) Identifier la fonction de la première ligne dans chaque tableau

Dans le premier tableau, la colonne est indiquée “a(x)”. On vérifie avec la fonction a :
Pour x = –2, a(–2) = 2 × (–2) + 5 = –4 + 5 = 1
Ce résultat correspond à la valeur donnée dans le tableau qui est 1.
Donc, le premier tableau présente bien la fonction a : x ↦ 2x + 5.

Dans le second tableau, la colonne est “b(x)”. On contrôle avec la fonction b :
Pour x = –1, b(–1) = –(–1) + 4 = 1 + 4 = 5
Ce résultat correspond à la valeur indiquée dans le tableau (5).
Donc, le second tableau présente la fonction b : x ↦ –x + 4.

────────────────────────────── 1-b) Compléter les tableaux de valeurs

• Pour le tableau de a(x) = 2x + 5 :

On calcule pour chaque valeur de x :

– Pour x = –2 : a(–2) = 2×(–2) + 5 = –4 + 5 = 1 (correspond à la valeur donnée)
– Pour x = –1 : a(–1) = 2×(–1) + 5 = –2 + 5 = 3
– Pour x = 0 : a(0) = 2×0 + 5 = 0 + 5 = 5
– Pour x = 1 : a(1) = 2×1 + 5 = 2 + 5 = 7
– Pour x = 2 : a(2) = 2×2 + 5 = 4 + 5 = 9
– Pour x = 3 : a(3) = 2×3 + 5 = 6 + 5 = 11 (correspond à la valeur donnée)
– Pour x = 4 : a(4) = 2×4 + 5 = 8 + 5 = 13

Le tableau complété devient :

x : –2 –1 0 1 2 3 4
a(x) : 1 3 5 7 9 11 13

• Pour le tableau de b(x) = –x + 4 :

Calculons pour chaque x :

– Pour x = –2 : b(–2) = –(–2) + 4 = 2 + 4 = 6
– Pour x = –1 : b(–1) = –(–1) + 4 = 1 + 4 = 5 (valeur donnée)
– Pour x = 0 : b(0) = –0 + 4 = 4 (valeur donnée)
– Pour x = 1 : b(1) = –1 + 4 = 3
– Pour x = 2 : b(2) = –2 + 4 = 2 (valeur donnée)
– Pour x = 3 : b(3) = –3 + 4 = 1
– Pour x = 4 : b(4) = –4 + 4 = 0

Le tableau complété devient :

x : –2 –1 0 1 2 3 4
b(x) : 6 5 4 3 2 1 0

────────────────────────────── 1-c) Représentation graphique des fonctions

Pour tracer les graphes, procédez de la manière suivante :

Tracez un repère orthogonal avec un axe horizontal (axe des x) et un axe vertical (axe des y).
Pour la fonction a(x) = 2x + 5 : – Remarquez que c’est une droite de pente 2 et d’ordonnée à l’origine 5. – Reportez les points calculés (par exemple, (–2,1), (0,5), (3,11)) et tracez la droite qui passe par ces points.
Pour la fonction b(x) = –x + 4 : – C’est une droite de pente –1 et d’ordonnée à l’origine 4. – Reportez les points (par exemple, (–1,5), (0,4), (2,2)) et tracez la droite correspondante.
Pour la fonction c(x) = x³ : – C’est une fonction polynomiale du troisième degré ayant une forme caractéristique. – Calculer quelques points simples, par exemple : • Pour x = –2, c(–2) = (–2)³ = –8
• Pour x = –1, c(–1) = –1
• Pour x = 0, c(0) = 0
• Pour x = 1, c(1) = 1
• Pour x = 2, c(2) = 8
– Reportez ces points et tracez une courbe lisse qui en relie les points.
Pour la fonction d(x) = x/2 : – C’est une droite de pente 1/2 et passant par l’origine. – Calculer quelques valeurs :
• Pour x = –2, d(–2) = –2/2 = –1
• Pour x = 0, d(0) = 0
• Pour x = 2, d(2) = 2/2 = 1
• Pour x = 4, d(4) = 4/2 = 2
– Reportez ces points et tracez la droite.

Chaque graphe sera tracé sur le même repère ou sur des repères séparés, selon les indications de votre exercice.

────────────────────────────── Exercice 2

On vous donne les fonctions et des valeurs à trouver :

a) Les fonctions sont :

1) a(x) = 4x – 3
• Trouvez a(3).
2) b(x) = x² + 2
• Trouvez b(–2).
3) c(x) = –x + 1
• Trouvez la valeur de x pour laquelle c(x) = 0.
4) d(x) = (3/2)x
• Trouvez la valeur de x pour laquelle d(x) = 6.
5) De plus, on cherche le nombre x tel que a(x) = 13 et le nombre x tel que b(x) = 18.

Procédons étape par étape :

Calcul de a(3) :

a(3) = 4 × 3 – 3 = 12 – 3 = 9

Calcul de b(–2) :

b(–2) = (–2)² + 2 = 4 + 2 = 6

Trouver le x tel que a(x) = 13 :

On a 4x – 3 = 13
Ajoutons 3 des deux côtés : 4x = 16
Divisons par 4 : x = 4
Ainsi, a(4) = 13.

Trouver le x tel que b(x) = 18 :

On a x² + 2 = 18
Soustrayons 2 des deux côtés : x² = 16
La résolution de cette équation donne : x = 4 ou x = –4
Remarque : Les deux solutions satisfont l’équation, ainsi b(4) = 18 et b(–4) = 18.

Trouver le x tel que c(x) = 0 :

c(x) = –x + 1 = 0
Ajoutons x des deux côtés : 1 = x
Donc, x = 1 et c(1) = 0.

Trouver le x tel que d(x) = 6 :

d(x) = (3/2)x = 6
Multiplions par 2 pour se débarrasser du dénominateur : 3x = 12
Divisons par 3 : x = 4
Ainsi, d(4) = 6.

────────────────────────────── 2-b) Représentation graphique des fonctions de l’exercice 2

Pour représenter graphiquement les fonctions a, b, c et d, procédez de la manière suivante :

Tracez un repère orthogonal (avec un axe des x et un axe des y).
Pour la fonction a(x) = 4x – 3 :
– C’est une droite de pente 4 et d’ordonnée à l’origine –3.
– Reportez quelques points, par exemple :
x = 0 ⇒ a(0) = –3
x = 1 ⇒ a(1) = 4 – 3 = 1
x = 3 ⇒ a(3) = 9 (calculé précédemment)
– Reliez ces points par une droite.
Pour la fonction b(x) = x² + 2 :
– C’est une parabole verticale.
– Par exemple, pour x = 0, b(0) = 0² + 2 = 2 ; pour x = 1, b(1)= 1+2=3 ; pour x = –1, b(–1)= 1+2=3 ; pour x = 2, b(2)= 4+2=6, etc.
– Tracez la courbe (la parabole) qui s’ouvre vers le haut.
Pour la fonction c(x) = –x + 1 :
– C’est une droite de pente –1 et d’ordonnée à l’origine 1.
– Par exemple, pour x = 0, c(0)=1 ; pour x = 1, c(1)=–1+1=0 ; pour x = –1, c(–1)= 1+1=2 ;
– Reportez ces points et tracez la droite.
Pour la fonction d(x) = (3/2)x :
– C’est une droite passant par l’origine, de pente 3/2.
– Par exemple, pour x = 0, d(0)=0 ; pour x = 2, d(2)= 3 ; pour x = 4, d(4)=6 (calculé précédemment).
– Reportez ces points et tracez la droite.

────────────────────────────── Conclusion

• Exercice 1 :
– Le premier tableau correspond à a(x)=2x+5 et le second à b(x)= –x+4.
– Les tableaux complétés sont :
Tableau a(x) :
x : –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4
a(x) : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13
Tableau b(x) :
x : –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4
b(x) : 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
– Pour tracer les graphes, placez les points trouvés sur un repère puis reliez-les (pour les droites, tracez une ligne droite, et pour la fonction cubique, tracez une courbe lisse).

• Exercice 2 :
– On a trouvé :
a(3) = 9
b(–2) = 6
a(4) = 13
b(x) = 18 lorsque x = 4 ou x = –4
c(x) = 0 pour x = 1
d(x) = 6 pour x = 4
– Pour dessiner les graphes, reportez plusieurs points pour chaque fonction et tracez la droite ou la courbe correspondante.

Cette démarche étape par étape vous permet de compléter les tableaux et de représenter graphiquement chacune des fonctions données.