Question : Voici deux fonctions :
\[ f : x \mapsto 4 \]
\[ g : x \mapsto 2x + 1 \]
Représentez-les graphiquement dans un même système d’axes.
Quelles sont les valeurs de \(x\) telles que \(f(x) = g(x)\) ?
Procédez de même pour les couples de fonctions suivants :
f est la droite horizontale y = 4 et g est la droite de pente 2 passant par (0,1).
f(x) = g(x) donne 4 = 2x + 1, donc x = 3/2 et le point d’intersection est (3/2 ; 4).
Les intersections des couples sont : 1. h et i : (0, 0) 2. j et k : (4/3 ; 7/3) 3. l et m : (13/6 ; 17/3) 4. n et o : (0, 0) et (–3/2 ; –9/2) 5. p et q : (1, 4) et (–1, 4)
Nous allons résoudre chaque partie de l’exercice étape par étape en détaillant la méthode.
────────────────────────────── Partie a) Représentation graphique de f et g
On a deux fonctions :
• f se définit par f(x) = 4.
– La fonction f est constante. Sa représentation graphique est une
droite horizontale qui passe par le point d’ordonnée 4 (pour tout x,
f(x) = 4).
• g se définit par g(x) = 2x + 1.
– La fonction g est une fonction affine de coefficient directeur 2 et
d’ordonnée à l’origine égale à 1. Son graphique est une droite oblique
qui coupe l’axe des ordonnées en (0, 1).
Pour dessiner ces deux graphes dans le même repère, repérez d’abord
quelques points : – Pour f, par exemple, pour x = -2, -1, 0, 1, 2,
toujours f(x) = 4. – Pour g, calculez quelques coordonnées :
• x = 0 ⇒ g(0) = 2×0 + 1 = 1
• x = 1 ⇒ g(1) = 2×1 + 1 = 3
• x = 2 ⇒ g(2) = 2×2 + 1 = 5
Ensuite, tracez la droite horizontale pour f et la droite oblique pour
g.
────────────────────────────── Partie b) Recherche des valeurs de x telles que f(x) = g(x)
Nous souhaitons trouver x vérifiant l’équation :
f(x) = g(x)
4 = 2x + 1
Procédons étape par étape : 1. Écrire l’équation : 4 = 2x + 1. 2.
Soustraire 1 des deux côtés pour isoler le terme en x : 4 – 1 =
2x
3 = 2x. 3. Diviser par 2 : x = 3/2.
Ainsi, la solution est x = 3/2. Pour connaître le point d’intersection, on peut calculer y = f(3/2) = 4. Le point d’intersection est (3/2 ; 4).
────────────────────────────── Partie c) Recherche des valeurs de x pour lesquelles les fonctions d’un même couple s’égalent
────────────────────────────── 2. Pour les fonctions j et k : j(x)
= 4x - 3 et k(x) = -2x + 5. On égalise : 4x - 3 = -2x + 5.
Rassemblons les termes en x d’un côté : 4x + 2x = 5 + 3
6x = 8. Divisons par 6 : x = 8/6 = 4/3. Pour trouver y, on calcule
par exemple j(4/3) : y = 4×(4/3) - 3 = 16/3 - 3 = 16/3 - 9/3 = 7/3. Le
point d’intersection est (4/3 ; 7/3).
────────────────────────────── 3. Pour les fonctions l et m : l(x) = 4x - 3 et m(x) = -2x + 10. Égalisons les deux expressions : 4x - 3 = -2x + 10. Ajoutons 2x aux deux côtés : 4x + 2x - 3 = 10 ⟹ 6x - 3 = 10. Ajoutons 3 aux deux côtés : 6x = 13. Divisons par 6 : x = 13/6. On calcule y en utilisant l(x) : y = 4×(13/6) - 3 = (52/6) - 3 = (52/6) - (18/6) = 34/6 = 17/3. Le point d’intersection est (13/6 ; 17/3).
────────────────────────────── 4. Pour les fonctions n et o : n(x) = 3x et o(x) = -2x². Pour trouver les points d’intersection, égalisons : 3x = -2x². Réorganisons l’équation : 2x² + 3x = 0. Factorisons x : x (2x + 3) = 0. Nous obtenons deux solutions : • x = 0. • 2x + 3 = 0 ⟹ 2x = -3 ⟹ x = -3/2. Calculons les ordonnées : Pour x = 0 : y = 3×0 = 0. Pour x = -3/2 : y = 3×(-3/2) = -9/2. Les points d’intersection sont (0, 0) et (-3/2 ; -9/2).
────────────────────────────── 5. Pour les fonctions p et q : p(x)
= 4x² et q(x) = -2x² + 6. Égalisons-les : 4x² = -2x² + 6. Ajoutons
2x² aux deux côtés pour rassembler les termes en x² : 4x² + 2x² =
6
6x² = 6. Divisons par 6 : x² = 1. Les solutions pour x sont : x =
1 ou x = -1. Calculons y pour x = 1 (le calcul sera identique pour x =
-1 car les fonctions contiennent x²) : y = 4×1² = 4. On peut vérifier
avec q(x) : -2×1² + 6 = 4. Les points d’intersection sont (1, 4) et (-1,
4).
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
Le graphe de f est une droite horizontale passant par y=4, et celui de g est une droite oblique de pente 2 passant par (0,1). On peut les tracer dans un même système d’axes.
f(x) = g(x) lorsque 4 = 2x + 1 ⟹ x = 3/2. L’intersection des graphes est donc (3/2 ; 4).
Pour chaque couple :
1. h(x) = 4x et i(x) = -2x :
Intersection en x = 0, donc point (0, 0).
2. j(x) = 4x - 3 et k(x) = -2x + 5 :
x = 4/3 et y = 7/3, soit le point (4/3 ; 7/3).
3. l(x) = 4x - 3 et m(x) = -2x + 10 :
x = 13/6 et y = 17/3, soit le point (13/6 ; 17/3).
4. n(x) = 3x et o(x) = -2x² :
Solutions : x = 0 (y = 0) et x = -3/2 (y = -9/2), soit les points (0,
0) et (-3/2 ; -9/2).
5. p(x) = 4x² et q(x) = -2x² + 6 :
x = 1 ou x = -1 et y = 4, soit les points (1, 4) et (-1, 4).
Chaque résolution a consisté à égaliser les expressions données pour trouver les valeurs de x qui rendent les deux fonctions égales, puis à calculer la valeur de y correspondante.
Cette démarche détaillée permet de bien comprendre la méthode pour résoudre ce type de problème.