Question : Choisis trois termes consécutifs dans une suite arithmétique.
Calcule la différence entre le carré du terme central et le produit des deux termes extrêmes.
Que observes-tu ?
Dans une suite arithmétique, pour trois termes consécutifs, la différence entre le carré du terme central et le produit des deux extrêmes est toujours égale au carré de la raison.
Question :
Choisis trois termes consécutifs dans une suite arithmétique.
Calcule la différence entre le carré du terme central et le produit des deux termes extrêmes.
Que observes-tu ?
Une suite arithmétique est une suite de nombres où la différence entre chaque terme consécutif est constante. Cette différence constante est appelée la raison de la suite.
Par exemple : - \(2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18,\ 22,\ 26,\ 30,\ \ldots\) (raison \(= 4\)) - \(-3,\ 0,\ 3,\ 6,\ 9,\ 12,\ 15,\ 18,\ \ldots\) (raison \(= 3\))
Pour résoudre cet exercice, choisissons trois termes consécutifs dans une suite arithmétique.
Supposons que la raison de la suite arithmétique soit \(d\).
Nous pouvons représenter les trois termes consécutifs de la manière suivante : - Premier terme : \(a - d\) - Deuxième terme (terme central) : \(a\) - Troisième terme : \(a + d\)
Illustration :
Si \(d = 3\) et \(a = 10\), les trois termes seront : - \(10 - 3 = 7\) - \(10\) - \(10 + 3 =
13\)
Nous devons calculer la différence entre le carré du terme central et le produit des deux termes extrêmes.
Mathématiquement, cela s’exprime comme : \[ \text{Différence} = \text{(Terme central)}^2 - (\text{Premier terme} \times \text{Troisième terme}) \]
En remplaçant par nos expressions : \[ \text{Différence} = a^2 - (a - d)(a + d) \]
Développons le produit : \[ (a - d)(a + d) = a^2 + a d - a d - d^2 = a^2 - d^2 \]
Ainsi, la différence devient : \[ \text{Différence} = a^2 - (a^2 - d^2) = a^2 - a^2 + d^2 = d^2 \]
La différence entre le carré du terme central et le produit des deux termes extrêmes est toujours égale au carré de la raison de la suite arithmétique.
En résumé : \[ \text{Différence} = d^2 \]
Exemple concret :
Reprenons l’exemple précédent où \(d = 3\) et les termes sont \(7,\ 10,\ 13\).
Calculons la différence : \[ 10^2 - (7 \times 13) = 100 - 91 = 9 \] Or, \[ d^2 = 3^2 = 9 \] La différence est bien égale au carré de la raison.
Quel que soit le choix des trois termes consécutifs dans une suite arithmétique, la différence entre le carré du terme central et le produit des deux termes extrêmes est toujours égale au carré de la raison de la suite. Cette propriété découle directement de la définition d’une suite arithmétique et des opérations algébriques de base.