Question :
| Paire de formules | Paire de formules |
|---|---|
| \(\begin{aligned} C &= 2\pi r \\ A &= \pi r^{2} \end{aligned}\) | \(\begin{aligned} S &= 4a \\ V &= a^{3} \end{aligned}\) |
| \(A = l \times
w\) \(P = 2(l + w)\) |
\(V = \pi
r^{2} h\) \(A = 2\pi r h\) |
| \(F = m \cdot
a\) \(E = \frac{1}{2} m v^{2}\) |
\(\begin{aligned} y &= kx + b \\ d &= \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{aligned}\) |
| \(d = r t\) | \(\rho = \frac{M}{V}\) |
| \(Q = I \cdot R\) | \(p = \rho g h\) |
Les formules permettant de déterminer le périmètre, l’aire, le volume ou toute autre mesure dans des domaines aussi divers que la géométrie, la physique, la chimie ou les sciences économiques, ne sont rien d’autre que des fonctions dont les différents paramètres peuvent être appelés variables. Ainsi, lorsque l’on écrit la formule du périmètre d’un cercle \(\left(P = 2\pi r\right)\), cela signifie que le périmètre est fonction du rayon ; on pourrait l’écrire \(P(r) = 2\pi r\) ou \(P : r \mapsto 2\pi r\).
Réponse très courte :
a) l = P/2 – w
b) Pour chaque paire, on exprime la variable isolée en inversant la formule. Par exemple, dans la première paire avec C = 2πr et A = πr², on trouve r = C/(2π) et r = √(A/π) (puis C = 2√(πA) et A = C²/(4π)). Les autres paires sont traitées de la même manière en isolant l’inconnue à l’aide d’opérations inverses (division, extraction de racine, etc.).
Nous allons corriger chaque partie de l’exercice en détaillant les étapes de raisonnement. On va tout d’abord répondre à la question a), puis nous traiterons la question b) en traitant chacune des paires de formules.
────────────────────────────── Partie a)
On nous donne la formule du périmètre d’un rectangle :
P = 2(l + w)
L’objectif est d’exprimer la longueur l en fonction du périmètre P et de la largeur w.
Étape 1. Diviser la formule par 2
l + w = P/2
Étape 2. Isoler l en soustrayant w aux deux membres
l = (P/2) – w
La formule l = P/2 – w est bien présente parmi les propositions
(c’est la deuxième proposition).
Ainsi, la bonne réponse est :
l = P/2 – w
────────────────────────────── Partie b)
Pour chaque paire de formules, nous allons exprimer une variable en fonction des autres. Nous détaillons chaque cas.
────────────────────────────── 1) Première paire (colonne de
gauche)
Formules : C = 2πr et A = πr²
• Exprimer r en fonction de C :
À partir de C = 2πr, on divise par 2π :
r = C/(2π)
• Exprimer r en fonction de A :
Dans A = πr², en isolant r, on obtient :
r² = A/π donc r = √(A/π)
• Exprimer C en fonction de A :
On remplace r par √(A/π) dans C = 2πr :
C = 2π √(A/π) = 2√(πA)
• Exprimer A en fonction de C :
Partant de r = C/(2π) et A = πr², on remplace :
A = π (C/(2π))² = π (C²/(4π²)) = C²/(4π)
────────────────────────────── 2) Deuxième paire (colonne de
droite)
Formules : S = 4a et V = a³
• Exprimer a en fonction de S :
De S = 4a, on a :
a = S/4
• Exprimer a en fonction de V :
De V = a³, on tire la racine cubique :
a = ∛V
• Expressons S en fonction de V :
En remplaçant a par ∛V dans S = 4a,
S = 4 ∛V
• Exprimer V en fonction de S :
De a = S/4, on a :
V = (S/4)³
────────────────────────────── 3) Troisième paire (colonne de
gauche)
Formules : A = l × w et P = 2(l + w)
Les variables ici sont la longueur l et la largeur w.
• À partir de P = 2(l + w), on peut écrire :
l + w = P/2
D’où, on peut exprimer :
l = P/2 – w ou w = P/2 – l
• À partir de A = l × w, on obtient également :
l = A/w ou w = A/l
On peut combiner les relations pour obtenir, par exemple, une
équation en w :
Remplacer l dans l = A/w par (P/2 – w) :
A/w = P/2 – w
Ce qui conduit à l’équation w² – (P/2) w + A = 0
Qui permet de résoudre explicitement w (et ainsi l) si nécessaire.
Remarque : Ces formules montrent que connaissant P et A, on peut
déterminer l et w (le problème étant symétrique).
────────────────────────────── 4) Quatrième paire (colonne de
droite)
Formules : V = πr²h et A = 2πrh
Ici, r représente le rayon et h la hauteur.
• Pour exprimer h en fonction de r à partir de A = 2πrh :
h = A/(2πr)
• Remplaçons h dans V = πr²h :
V = πr² (A/(2πr)) = (A · r)/2
D’où, pour exprimer r en fonction de V et A :
r = 2V/A
• Une fois r connu, on obtient h par :
h = A/(2πr) = A/(2π · (2V/A)) = A²/(4πV)
• Récapitulatif :
r = 2V/A
h = A²/(4πV)
────────────────────────────── 5) Cinquième paire (colonne de
gauche)
Formules : F = m·a et E = (1/2) m v²
Variables : masse m, accélération a, vitesse v, force F, et énergie E.
• À partir de F = m·a, on peut écrire :
a = F/m et m = F/a
• À partir de E = (1/2) m v², on isole m :
m = 2E/v²
ou, de manière équivalente,
v = √(2E/m)
Ainsi, selon la grandeur connue, vous pouvez exprimer :
m = F/a et m = 2E/v²
a = F/m et v = √(2E/m)
────────────────────────────── 6) Sixième paire (colonne de
droite)
Formules : y = kx + b et d = √(x² + y²)
Ici, les variables sont x, y et d (ainsi que k et b qui sont des constantes dans la première formule).
• Dans la formule y = kx + b, on peut exprimer :
– x en fonction de y (si k ≠ 0) : x = (y – b)/k
– ou b en fonction de x et y : b = y – kx
• Dans la formule d = √(x² + y²), on peut écrire :
d² = x² + y²
Ainsi, on peut isoler y si l’on connaît x et d :
y = √(d² – x²) (ou x = √(d² – y²))
Notez que cette conversion suppose que l’on cherche la valeur positive
de la racine.
────────────────────────────── 7) Septième paire (colonne de
gauche)
Formule unique ici : d = r t
On exprime simplement l’une des variables en fonction des deux autres.
• Exprimer r :
r = d/t
• Exprimer t :
t = d/r
────────────────────────────── 8) Huitième paire (colonne de
droite)
Formule unique ici : ρ = M/V (ρ est la densité)
On exprime :
• M en fonction de ρ et V : M = ρ · V
• V en fonction de M et ρ : V = M/ρ
────────────────────────────── 9) Neuvième paire (colonne de
gauche)
Formule unique ici : Q = I·R
(En électrocinétique, Q peut représenter une quantité de charge,
cependant ici la formule ressemble à la loi d’Ohm avec I, l’intensité,
et R, la résistance.)
On a :
• I = Q/R
• R = Q/I
────────────────────────────── 10) Dixième paire (colonne de
droite)
Formule unique ici : p = ρ·g·h
Enfin, on exprime :
• ρ en fonction de p, g et h : ρ = p/(g·h)
• h en fonction de p, ρ et g : h = p/(ρ·g)
• g en fonction de p, ρ et h : g = p/(ρ·h)
────────────────────────────── Conclusion générale
Pour chacune des paires de formules, nous avons montré comment isoler une variable à l’aide des opérations inverses (division, multiplication, extraction de racine, etc.). Ces manipulations permettent d’obtenir une expression claire de chaque grandeur en fonction des autres paramètres connus dans la formule.
Cette démarche est très utile pour résoudre des problèmes en physique, géométrie, et dans d’autres domaines où les relations mathématiques interviennent.
Ainsi, la correction complète détaille la méthode pour obtenir :
a) l = P/2 – w
b) Les expressions pour chaque paire de formules présentées ci-dessus.
Cette procédure vous permettra de comprendre comment résoudre de manière systématique chacune des relations données.