On considère un carré de côté \(x\).
Exprimez la mesure de la diagonale du carré en fonction du côté.
Exprimez la mesure du périmètre du carré en fonction du côté.
Exprimez la mesure du périmètre du carré en fonction de la diagonale.
Les fonctions définies dans les questions précédentes sont-elles du même type ? Si oui, précisez lequel.
Résumé de la correction :
Pour un carré de côté \(x\) : - La diagonale est \(d = x\sqrt{2}\). - Le périmètre est \(P = 4x\) ou, en fonction de la diagonale, \(P = 2d\sqrt{2}\). - Les fonctions \(d(x)\), \(P(x)\) et \(P(d)\) sont toutes linéaires.
Correction de l’exercice :
On considère un carré de côté \(x\).
Étape 1 : Comprendre le problème
La diagonale d’un carré relie deux coins opposés. Pour déterminer sa longueur en fonction du côté \(x\), nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore.
Étape 2 : Appliquer le théorème de Pythagore
Dans un carré, la diagonale forme un triangle rectangle avec deux côtés adjacents du carré.
Selon le théorème de Pythagore : \[ \text{diagonale}^2 = \text{côté}^2 + \text{côté}^2 \] \[ d^2 = x^2 + x^2 \] \[ d^2 = 2x^2 \]
Étape 3 : Isoler la diagonale
Pour trouver \(d\), on prend la racine carrée des deux côtés de l’équation : \[ d = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2} \]
Réponse : \[ d = x\sqrt{2} \]
Étape 1 : Comprendre le périmètre d’un carré
Le périmètre d’un carré est la somme des longueurs de ses quatre côtés.
Étape 2 : Écrire l’expression du périmètre
\[ P = 4 \times \text{côté} = 4x \]
Réponse : \[ P = 4x \]
Étape 1 : Relier la diagonale au côté
Nous avons déjà trouvé que : \[ d = x\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2} \]
Étape 2 : Exprimer le périmètre en fonction de \(d\)
Le périmètre est : \[ P = 4x = 4 \times \frac{d\sqrt{2}}{2} = 2d\sqrt{2} \]
Réponse : \[ P = 2d\sqrt{2} \]
Analyse des fonctions :
Observation :
Les trois fonctions sont de type linéaire, car elles peuvent toutes s’écrire sous la forme \(f(t) = kt\), où \(k\) est une constante.
Conclusion :
Oui, les fonctions \(d(x)\), \(P(x)\) et \(P(d)\) sont toutes de type linéaire.
Réponse :
Les fonctions sont de type linéaire.