Question : On connaît une valeur de cette fonction : \(2 \longmapsto 7\).
Trouve, si possible, une fonction linéaire, une fonction affine et une fonction du deuxième degré qui respectent cette condition.
Effectue la même recherche en ajoutant une deuxième condition : \(5 \longmapsto 2\).
Pose la même question en ajoutant une troisième condition : \(-1 \longmapsto 10\).
Résumé des solutions :
Fonction linéaire : \(f(x) = \frac{7}{2}x\)
Fonction affine avec deux conditions : \(f(x) = -\frac{5}{3}x + \frac{31}{3}\)
Fonction du deuxième degré avec trois conditions : \(f(x) = -\frac{1}{9}x^2 - \frac{8}{9}x + \frac{83}{9}\)
Question : On connaît une valeur de cette fonction : \(2 \longmapsto 7\).
1. Fonction linéaire
Une fonction linéaire est de la forme : \[ f(x) = ax \] où \(a\) est un coefficient constant.
Condition donnée : \[ f(2) = 7 \]
Application de la condition : \[ a \times 2 = 7 \implies a = \frac{7}{2} \]
Donc, la fonction linéaire est : \[ f(x) = \frac{7}{2}x \]
2. Fonction affine
Une fonction affine est de la forme : \[ f(x) = ax + b \] où \(a\) et \(b\) sont des coefficients constants.
Condition donnée : \[ f(2) = 7 \]
Application de la condition : \[ a \times 2 + b = 7 \implies 2a + b = 7 \]
Avec une seule équation à deux inconnues (\(a\) et \(b\)), il existe une infinité de solutions. On peut choisir une valeur pour l’un des paramètres et déterminer l’autre en conséquence.
Par exemple, choisissons \(a = 3\) : \[ 2 \times 3 + b = 7 \implies 6 + b = 7 \implies b = 1 \]
Ainsi, une fonction affine possible est : \[ f(x) = 3x + 1 \]
3. Fonction du deuxième degré
Une fonction du deuxième degré est de la forme : \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] où \(a\), \(b\), et \(c\) sont des coefficients constants.
Condition donnée : \[ f(2) = 7 \]
Application de la condition : \[ a \times (2)^2 + b \times 2 + c = 7 \implies 4a + 2b + c = 7 \]
Avec une seule équation à trois inconnues (\(a\), \(b\), et \(c\)), il existe une infinité de solutions. Pour simplifier, on peut fixer deux des paramètres et déterminer le troisième.
Par exemple, choisissons \(a = 1\) et \(b = 1\) : \[ 4 \times 1 + 2 \times 1 + c = 7 \implies 4 + 2 + c = 7 \implies c = 1 \]
Ainsi, une fonction du deuxième degré possible est : \[ f(x) = x^2 + x + 1 \]
Maintenant, nous avons deux conditions : \[ f(2) = 7 \quad \text{et} \quad f(5) = 2 \]
1. Fonction linéaire
Pour une fonction linéaire \(f(x) = ax\), vérifions si les deux conditions peuvent être satisfaites simultanément.
Première condition : \[ 2a = 7 \implies a = \frac{7}{2} \]
Deuxième condition : \[ 5a = 2 \implies 5 \times \frac{7}{2} = \frac{35}{2} \neq 2 \]
Conclusion : Il n’existe pas de fonction linéaire qui satisfait les deux conditions simultanément.
2. Fonction affine
Pour une fonction affine \(f(x) = ax + b\), appliquons les deux conditions.
Première condition : \[ 2a + b = 7 \quad (1) \]
Deuxième condition : \[ 5a + b = 2 \quad (2) \]
Résolution du système : Soustrayons l’équation (1) de l’équation (2) : \[ (5a + b) - (2a + b) = 2 - 7 \implies 3a = -5 \implies a = -\frac{5}{3} \]
Utilisons la valeur de \(a\) dans l’équation (1) : \[ 2 \times \left(-\frac{5}{3}\right) + b = 7 \implies -\frac{10}{3} + b = 7 \implies b = 7 + \frac{10}{3} = \frac{31}{3} \]
Ainsi, la fonction affine est : \[ f(x) = -\frac{5}{3}x + \frac{31}{3} \]
3. Fonction du deuxième degré
Pour une fonction du deuxième degré \(f(x) = ax^2 + bx + c\), appliquons les deux conditions.
Première condition : \[ 4a + 2b + c = 7 \quad (1) \]
Deuxième condition : \[ 25a + 5b + c = 2 \quad (2) \]
Nous avons deux équations avec trois inconnues. Pour trouver une solution, nous devons fixer une valeur pour l’un des paramètres. Par exemple, choisissons \(a = 1\).
Avec \(a = 1\) :
Équation (1) : \[ 4(1) + 2b + c = 7 \implies 4 + 2b + c = 7 \implies 2b + c = 3 \quad (1a) \]
Équation (2) : \[ 25(1) + 5b + c = 2 \implies 25 + 5b + c = 2 \implies 5b + c = -23 \quad (2a) \]
Soustrayons l’équation (1a) de l’équation (2a) : \[ (5b + c) - (2b + c) = -23 - 3 \implies 3b = -26 \implies b = -\frac{26}{3} \]
Utilisons la valeur de \(b\) dans l’équation (1a) : \[ 2 \times \left(-\frac{26}{3}\right) + c = 3 \implies -\frac{52}{3} + c = 3 \implies c = 3 + \frac{52}{3} = \frac{61}{3} \]
Ainsi, une fonction du deuxième degré possible est : \[ f(x) = x^2 - \frac{26}{3}x + \frac{61}{3} \]
Maintenant, nous avons trois conditions : \[ f(2) = 7, \quad f(5) = 2, \quad f(-1) = 10 \]
1. Fonction linéaire
Comme précédemment constaté, une fonction linéaire \(f(x) = ax\) ne peut pas satisfaire les deux premières conditions simultanément. L’ajout d’une troisième condition ne fait que renforcer cette impossibilité.
Conclusion : Il n’existe pas de fonction linéaire qui satisfait les trois conditions simultanément.
2. Fonction affine
Pour une fonction affine \(f(x) = ax + b\), vérifions si les trois conditions peuvent être satisfaites.
Première condition : \[ 2a + b = 7 \quad (1) \]
Deuxième condition : \[ 5a + b = 2 \quad (2) \]
Troisième condition : \[ -1a + b = 10 \quad (3) \]
Résolvons le système :
Soustrayons l’équation (1) de l’équation (2) : \[ (5a + b) - (2a + b) = 2 - 7 \implies 3a = -5 \implies a = -\frac{5}{3} \]
Utilisons la valeur de \(a\) dans l’équation (1) : \[ 2 \times \left(-\frac{5}{3}\right) + b = 7 \implies -\frac{10}{3} + b = 7 \implies b = 7 + \frac{10}{3} = \frac{31}{3} \]
Vérifions la troisième condition avec \(a = -\frac{5}{3}\) et \(b = \frac{31}{3}\) : \[ -1 \times \left(-\frac{5}{3}\right) + \frac{31}{3} = \frac{5}{3} + \frac{31}{3} = \frac{36}{3} = 12 \neq 10 \]
Conclusion : Il n’existe pas de fonction affine qui satisfait les trois conditions simultanément.
3. Fonction du deuxième degré
Pour une fonction du deuxième degré \(f(x) = ax^2 + bx + c\), appliquons les trois conditions.
Conditions données : \[ \begin{cases} 4a + 2b + c = 7 \quad (1) \\ 25a + 5b + c = 2 \quad (2) \\ a - b + c = 10 \quad (3) \end{cases} \]
Résolution du système :
Soustrayons l’équation (1) de l’équation (2) : \[ (25a + 5b + c) - (4a + 2b + c) = 2 - 7 \implies 21a + 3b = -5 \quad (4) \]
Soustrayons l’équation (1) de l’équation (3) : \[ (a - b + c) - (4a + 2b + c) = 10 - 7 \implies -3a -3b = 3 \implies 3a + 3b = -3 \quad (5) \]
Simplifions l’équation (4) : \[ 21a + 3b = -5 \implies 7a + b = -\frac{5}{3} \quad (4a) \]
Simplifions l’équation (5) : \[ 3a + 3b = -3 \implies a + b = -1 \quad (5a) \]
Résolvons les équations (4a) et (5a) : \[ \begin{cases} 7a + b = -\frac{5}{3} \quad (4a) \\ a + b = -1 \quad (5a) \end{cases} \]
Soustrayons l’équation (5a) de l’équation (4a) : \[ (7a + b) - (a + b) = -\frac{5}{3} - (-1) \implies 6a = -\frac{5}{3} + 1 = -\frac{2}{3} \implies a = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9} \]
Utilisons la valeur de \(a\) dans l’équation (5a) : \[ -\frac{1}{9} + b = -1 \implies b = -1 + \frac{1}{9} = -\frac{8}{9} \]
Enfin, utilisons les valeurs de \(a\) et \(b\) dans l’équation (1) : \[ 4 \times \left(-\frac{1}{9}\right) + 2 \times \left(-\frac{8}{9}\right) + c = 7 \implies -\frac{4}{9} - \frac{16}{9} + c = 7 \implies -\frac{20}{9} + c = 7 \implies c = 7 + \frac{20}{9} = \frac{83}{9} \]
Ainsi, la fonction du deuxième degré est : \[ f(x) = -\frac{1}{9}x^2 - \frac{8}{9}x + \frac{83}{9} \]
Résumé des solutions :
Fonction linéaire : \( f(x) = x \) (seule solution avec une condition)
Fonction affine avec deux conditions : \[ f(x) = -\frac{5}{3}x + \frac{31}{3} \]
Fonction du deuxième degré avec trois conditions : \[ f(x) = -\frac{1}{9}x^2 - \frac{8}{9}x + \frac{83}{9} \]