Question : Voici les tarifs de trois compagnies d’électricité :
| Tarif | Abonnement mensuel (euros) | Coût par kilowattheure (euros) |
|---|---|---|
| X | 20 | 0,15 |
| Y | 35 | 0,10 |
| Z | 50 | 0,08 |
Détermine l’expression fonctionnelle des fonctions associant au nombre de kilowattheures consommés \(k\) le coût total mensuel pour chacune des trois compagnies.
Représente les trois fonctions sur un même graphique avec un système d’axes approprié.
Détermine, en fonction du nombre de kilowattheures consommés, la compagnie la plus économique.
Réponse courte :
X : Cₓ(k) = 20 + 0,15k Y : Cᵧ(k) = 35 + 0,10k Z : C𝓏(k) = 50 + 0,08k
Sur un graphique (k de 0 à 1000 kWh, coût jusqu’à ≈150 €) on trace trois droites commençant à 20, 35 et 50 avec des pentes de 0,15; 0,10 et 0,08 respectivement.
La compagnie la moins chère est : – X pour k < 300 kWh, – Y pour 300 ≤ k < 750 kWh, – Z pour k ≥ 750 kWh.
Nous allons résoudre la question étape par étape.
────────────────────────────── 1) Partie a) – Expression fonctionnelle
Pour chacune des compagnies, le coût total mensuel est la somme d’un abonnement fixe et d’un coût proportionnel à la consommation en kilowattheures (kWh).
• Pour la compagnie X
Coût = abonnement + (coût par kWh × k)
Cₓ(k) = 20 + 0,15 × k
• Pour la compagnie Y
Coût = abonnement + (coût par kWh × k)
Cᵧ(k) = 35 + 0,10 × k
• Pour la compagnie Z
Coût = abonnement + (coût par kWh × k)
C𝓏(k) = 50 + 0,08 × k
────────────────────────────── 2) Partie b) – Représentation graphique
Pour représenter sur un même graphique les trois fonctions : • L’axe
horizontal (x) représente le nombre de kilowattheures consommés
(k).
• L’axe vertical (y) représente le coût total mensuel en euros.
Chaque fonction est une droite d’équation y = (abonnement) + (coefficient × k).
• La droite de la compagnie X commence à y = 20 pour k = 0 et a une
pente de 0,15.
• La droite de la compagnie Y commence à y = 35 pour k = 0 et a une
pente de 0,10.
• La droite de la compagnie Z commence à y = 50 pour k = 0 et a une
pente de 0,08.
Pour tracer le graphique, on peut choisir une échelle adaptée, par
exemple :
– Sur l’axe horizontal (k), représenter des valeurs de 0 à 1000
kWh.
– Sur l’axe vertical (coût), représenter des valeurs de 0 à environ 150
euros.
Positionnez les trois points d’intersection à k = 0 aux ordonnées 20, 35 et 50. Ensuite, en utilisant les pentes, tracez les droites :
• Pour X, augmentez de 0,15 euro par kWh consommé.
• Pour Y, augmentez de 0,10 euro par kWh consommé.
• Pour Z, augmentez de 0,08 euro par kWh consommé.
Ainsi, on obtient trois droites qui se croisent. Par exemple, on s’intéressera aux intersections pour la partie c).
────────────────────────────── 3) Partie c) – Déterminer la compagnie la plus économique
Pour savoir quelle compagnie est la moins chère, il faut comparer les coûts en fonction de k, car les droites se coupent.
Comparons d’abord X et Y :
On résout l’équation Cₓ(k) = Cᵧ(k) :
20 + 0,15k = 35 + 0,10k
0,15k - 0,10k = 35 - 20
0,05k = 15 ⟹ k = 15 / 0,05 = 300
Ainsi, pour k = 300 kWh, les coûts de X et Y sont égaux :
Cₓ(300) = 20 + 0,15×300 = 20 + 45 = 65
Cᵧ(300) = 35 + 0,10×300 = 35 + 30 = 65
Pour k < 300, la droite à pente plus forte (X) augmentera plus
rapidement à partir d’une valeur initiale plus faible (20 euros contre
35 euros). On peut vérifier :
Pour k = 0 :
X = 20, Y = 35
Donc, pour k < 300, X est la moins chère.
Pour k > 300, Y devient moins chère que X.
Maintenant, comparons Y et Z :
On résout Cᵧ(k) = C𝓏(k) :
35 + 0,10k = 50 + 0,08k
0,10k - 0,08k = 50 - 35
0,02k = 15 ⟹ k = 15 / 0,02 = 750
Pour k = 750 kWh, les coûts de Y et Z sont égaux :
Cᵧ(750) = 35 + 0,10×750 = 35 + 75 = 110
C𝓏(750) = 50 + 0,08×750 = 50 + 60 = 110
Pour k < 750, la fonction Y est moins coûteuse que Z, car Y part
d’un abonnement inférieur à celui de Z (35 versus 50).
Pour k > 750, Z devient plus économique grâce à son coût par kWh plus
faible.
Enfin, il n’est pas nécessaire d’étudier directement la comparaison
entre X et Z, car la compagnie Y est intermédiaire : – Pour k allant de
0 à 300, la compagnie X est la moins chère.
– Pour k entre 300 et 750, la compagnie Y est la plus économique.
– Pour k supérieur à 750, la compagnie Z devient la moins chère.
────────────────────────────── Conclusion
Les expressions fonctionnelles sont :
X : Cₓ(k) = 20 + 0,15k
Y : Cᵧ(k) = 35 + 0,10k
Z : C𝓏(k) = 50 + 0,08k
Sur le graphique, tracer trois droites dont : – L’ordonnée à
l’origine pour X = 20, Y = 35 et Z = 50
– Les pentes sont respectivement 0,15; 0,10 et 0,08.
La compagnie la plus économique en fonction de k est :
– Pour 0 ≤ k < 300 kWh, la compagnie X est la moins chère.
– Pour 300 ≤ k < 750 kWh, la compagnie Y est la plus
avantageuse.
– Pour k ≥ 750 kWh, la compagnie Z offre le meilleur tarif.
Cette analyse permet de choisir l’offre la plus adaptée selon la consommation mensuelle d’électricité.