Question : La droite \(f\) est la représentation graphique de la fonction \(f\) définie par \(f(x) = 3x + 2\), et la droite \(g\) celle de la fonction \(g\) définie par \(g(x) = 3x - 5\).
Sans tracer ces droites, pouvez-vous déterminer si elles sont parallèles ?
Vérifiez votre réponse en traçant les droites.
Soit \(h\) la droite parallèle à \(f\) et passant par le point \((0, 4)\). Sans la tracer, déterminez l’expression de la fonction \(h\).
Trouvez l’expression de la fonction \(i\) qui passe par le point \((0, -8)\) et dont la pente est égale à \(-2\).
Nous allons étudier chaque question pas à pas :
────────────────────────────── a) Détermination de la parabole ou non-parallélisme sans tracer
• Nous avons deux fonctions :
f(x) = 3x + 2
g(x) = 3x − 5
• Pour chacune de ces fonctions, la forme est y = mx + p, où m est le coefficient directeur (la pente) et p l’ordonnée à l’origine.
• Pour f(x), le coefficient directeur est 3.
Pour g(x), le coefficient directeur est aussi 3.
• Deux droites qui ont le même coefficient directeur sont parallèles (elles évoluent de la même manière, sans se couper).
Conclusion pour la question a) :
Les droites représentées par f et g sont parallèles car elles ont toutes
les deux pour pente 3.
────────────────────────────── b) Vérification en traçant les droites
• Même sans faire un tracé précis à l’échelle, nous pouvons remarquer
ce qui suit :
- Pour f : l’ordonnée à l’origine est 2 et la droite monte de 3 unités
verticales pour chaque 1 unité horizontale.
- Pour g : l’ordonnée à l’origine est −5 et la droite monte également
de 3 unités verticales pour chaque 1 unité horizontale.
• En traçant ces deux points d’ordonnée à l’origine (f en (0, 2) et g en (0, −5)) puis en appliquant la même pente (3), on verra que les deux droites auront la même inclinaison et ne se rencontreront pas.
Conclusion pour la question b) :
Le tracé confirme que f et g sont parallèles puisque leur pente commune
assure qu’elles ne se croisent pas.
────────────────────────────── c) Détermination de l’expression de la fonction h
• La droite h est parallèle à f.
Donc, elle aura la même pente que f, c’est-à-dire m = 3.
• On sait que h passe par le point (0, 4). Lorsque x = 0, on a y =
4.
Dans l’équation générale y = mx + p, le point (0, 4) nous donne p =
4.
• On peut alors écrire l’équation de h :
h(x) = 3x + 4
────────────────────────────── d) Détermination de l’expression de la fonction i
• On cherche la droite qui passe par le point (0, −8) et dont la pente est m = −2.
• En utilisant la forme y = mx + p, substituons x = 0 et y = −8 pour
trouver le terme constant p :
−8 = (−2) · 0 + p
Donc, p = −8.
• L’équation de la droite i est donc :
i(x) = −2x − 8
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
Les droites f et g sont parallèles car elles ont la même pente (m = 3).
Le tracé des droites confirme qu’elles sont parallèles, chacune ayant une pente de 3.
La fonction h, parallèle à f et passant par (0, 4), est donnée par h(x) = 3x + 4.
La fonction i, passant par (0, −8) et de pente −2, est donnée par i(x) = −2x − 8.