Donne, si possible, l’expression fonctionnelle et le type de fonction correspondant au coût total en fonction du nombre de pages imprimées, puis esquisse sa représentation graphique.
Donne, si possible, l’expression fonctionnelle et le type de fonction correspondant au salaire en fonction du nombre d’heures travaillées, puis esquisse sa représentation graphique.
Donne, si possible, l’expression fonctionnelle et le type de fonction correspondant à la température en degrés Fahrenheit en fonction de la température en degrés Celsius, puis esquisse sa représentation graphique.
Donne, si possible, l’expression fonctionnelle et le type de fonction correspondant à la distance parcourue à vélo en fonction du temps, puis esquisse sa représentation graphique.
Donne, si possible, l’expression fonctionnelle et le type de fonction correspondant au coût total des billets achetés en fonction du nombre de billets, puis esquisse sa représentation graphique.
Donne, si possible, l’expression fonctionnelle et le type de fonction correspondant au poids d’un paquet en fonction du nombre d’objets qu’il contient, puis esquisse sa représentation graphique.
Donne, si possible, l’expression fonctionnelle et le type de fonction correspondant à la consommation d’essence en fonction de la distance parcourue, puis esquisse sa représentation graphique.
Donne, si possible, l’expression fonctionnelle et le type de fonction correspondant au nombre de points obtenus en fonction du nombre de jeux joués, puis esquisse sa représentation graphique.
Donne, si possible, l’expression fonctionnelle et le type de fonction correspondant à la hauteur d’une plante en fonction du nombre de jours de croissance, puis esquisse sa représentation graphique.
Toutes ces expressions représentent des fonctions affines (de la forme f(x) = mx + p) dont le graphique est une droite dont la pente m indique le taux d’évolution et l’ordonnée à l’origine p la valeur initiale.
Voici une correction détaillée pour chacune des parties de l’exercice. Nous allons déterminer pour chaque situation l’expression fonctionnelle recherchée, indiquer le type de fonction (affine, c’est-à-dire de la forme f(x) = mx + p) et décrire brièvement la représentation graphique.
──────────────────────────── a) Coût total en fonction du nombre de pages imprimées
Analyse du problème :
• Soit x le nombre de pages imprimées.
• Le coût total peut comporter un montant fixe (frais d’installation,
par exemple) et un coût variable par page imprimée.
Expression fonctionnelle (exemple) :
On peut poser : C(x) = 0,05x + 2
• 0,05 est le coût par page (la pente m).
• 2 est le coût fixe (l’ordonnée à l’origine, p).
Type de fonction :
Il s’agit d’une fonction affine, car elle s’écrit sous la forme f(x) =
mx + p.
Représentation graphique :
• L’axe horizontal représente le nombre de pages imprimées (x).
• L’axe vertical représente le coût total (C(x)).
• La droite passe par le point (0 ; 2) et a une pente positive, ce qui
signifie que le coût total augmente linéairement avec le nombre de
pages.
──────────────────────────── b) Salaire en fonction du nombre d’heures travaillées
Analyse du problème :
• Soit x le nombre d’heures travaillées.
• Le salaire peut être calculé à partir d’un taux horaire constant.
Parfois, il peut également comprendre une prime fixe.
Expression fonctionnelle (exemple) :
On peut écrire : S(x) = 12x
• Ici, 12 représente le taux horaire (la pente).
• L’ordonnée à l’origine est 0, ce qui signifie que si aucune heure
n’est travaillée, le salaire est nul.
(Dans un cas avec prime, on pourrait avoir S(x) = 12x + 5.)
Type de fonction :
Il s’agit d’une fonction affine.
Représentation graphique :
• L’axe horizontal représente le nombre d’heures (x).
• L’axe vertical représente le salaire (S(x)).
• La droite passe par l’origine (0 ; 0) (ou par (0 ; prime) si celle-ci
existe) et monte de manière linéaire.
──────────────────────────── c) Température en degrés Fahrenheit en fonction de la température en degrés Celsius
Analyse du problème :
• Soit C la température en degré Celsius.
• La conversion vers Fahrenheit se fait en multipliant par un
coefficient puis en ajoutant une constante.
Expression fonctionnelle :
La formule connue est : T_F(C) = 1,8 × C + 32
Type de fonction :
C’est une fonction affine.
Représentation graphique :
• L’axe horizontal représente la température en Celsius (C).
• L’axe vertical représente la température en Fahrenheit (T_F).
• La droite passe par le point (0 ; 32) et sa pente est 1,8, indiquant
une augmentation linéaire.
──────────────────────────── d) Distance parcourue à vélo en fonction du temps
Analyse du problème :
• Soit t le temps (en heures, par exemple) et d(t) la distance
parcourue.
• Si la vitesse est constante, la distance évolue de façon
proportionnelle au temps.
Expression fonctionnelle (exemple) :
On peut poser : d(t) = 15t
• Ici, 15 représente la vitesse en kilomètres par heure.
Type de fonction :
C’est une fonction affine passant par l’origine (fonction
linéaire).
Représentation graphique :
• L’axe horizontal représente le temps (t).
• L’axe vertical représente la distance (d).
• La droite part de (0 ; 0) et monte de façon linéaire, la pente
indiquant la vitesse.
──────────────────────────── e) Coût total des billets en fonction du nombre de billets achetés
Analyse du problème :
• Soit n le nombre de billets achetés.
• Chaque billet ayant un prix fixe, le coût total se calcule en
multipliant ce prix par n.
Expression fonctionnelle (exemple) :
On peut écrire : Coût(n) = 8n
• Ici, 8 est le prix d’un billet.
Type de fonction :
Il s’agit d’une fonction affine (linéaire) passant par (0 ; 0).
Représentation graphique :
• L’axe horizontal représente le nombre de billets (n).
• L’axe vertical représente le coût total.
• La droite part de l’origine et augmente de façon linéaire avec une
pente de 8.
──────────────────────────── f) Poids d’un paquet en fonction du nombre d’objets qu’il contient
Analyse du problème :
• Soit n le nombre d’objets dans le paquet.
• Le poids total est obtenu en multipliant le poids moyen d’un objet par
n et, éventuellement, en ajoutant le poids de l’emballage.
Expression fonctionnelle (exemple) :
On peut poser : P(n) = 0,2n + 0,1
• 0,2 est le poids moyen d’un objet (en kilogrammes, par exemple).
• 0,1 est le poids de l’emballage.
Type de fonction :
C’est une fonction affine.
Représentation graphique :
• L’axe horizontal représente le nombre d’objets (n).
• L’axe vertical représente le poids total (P(n)).
• La droite coupe l’axe vertical en 0,1 et augmente
linéairement.
──────────────────────────── g) Consommation d’essence en fonction de la distance parcourue
Analyse du problème :
• Soit d la distance parcourue.
• La consommation d’essence est généralement proportionnelle à la
distance parcourue (à vitesse constante).
Expression fonctionnelle (exemple) :
On peut écrire : C(d) = 0,07d
• Ici, 0,07 représente la consommation d’essence par unité de distance
(litres par kilomètre, par exemple).
Type de fonction :
Il s’agit d’une fonction affine (linéaire) probablement passant par
l’origine.
Représentation graphique :
• L’axe horizontal représente la distance (d).
• L’axe vertical représente la consommation d’essence (C(d)).
• La droite part de (0 ; 0) et augmente linéairement.
──────────────────────────── h) Nombre de points obtenus en fonction du nombre de jeux joués
Analyse du problème :
• Soit n le nombre de jeux joués.
• Si l’on suppose un nombre moyen de points obtenus par partie, le total
de points peut se calculer en multipliant ce nombre par n. Parfois, il
peut y avoir un bonus ou un malus fixe.
Expression fonctionnelle (exemple) :
On peut poser : P(n) = 5n
• Ici, 5 représente le nombre moyen de points par jeu.
Type de fonction :
Il s’agit d’une fonction affine (linéaire) passant par (0 ; 0).
Représentation graphique :
• L’axe horizontal représente le nombre de jeux joués (n).
• L’axe vertical représente le nombre de points total (P(n)).
• La droite part de l’origine et monte de façon linéaire avec une pente
de 5.
──────────────────────────── i) Hauteur d’une plante en fonction du nombre de jours de croissance
Analyse du problème :
• Soit t le nombre de jours de croissance et h(t) la hauteur de la
plante.
• La plante peut commencer avec une hauteur initiale et croître d’un
certain nombre de centimètres par jour.
Expression fonctionnelle (exemple) :
On peut écrire : h(t) = 0,5t + 3
• Ici, 0,5 est le taux de croissance par jour (en centimètres).
• 3 représente la hauteur initiale de la plante.
Type de fonction :
Il s’agit d’une fonction affine.
Représentation graphique :
• L’axe horizontal représente le nombre de jours (t).
• L’axe vertical représente la hauteur de la plante (h(t)).
• La droite coupe l’axe vertical au point (0 ; 3) et monte de façon
linéaire selon la pente 0,5.
──────────────────────────── Conclusion générale
Pour chacune des situations, on a déterminé une expression fonctionnelle de la forme générale f(x) = mx + p, ce qui correspond à une fonction affine. La représentation graphique se traduit toujours par une droite dont la pente (m) et l’ordonnée à l’origine (p) dépendent des valeurs caractéristiques de chaque contexte.
Ces exemples sont donnés à titre indicatif. En pratique, les coefficients (pente et ordonnée à l’origine) peuvent varier selon les situations réelles. Cette méthode vous permet d’identifier et de représenter graphiquement des relations linéaires dans différents contextes.