Question : Considérons les trois fonctions \(p\), \(q\) et \(r\) définies par le tableau suivant :
| Fonction | \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|---|
| \(p\) | \(-5\) | \(3\) |
| \(p\) | \(0\) | \(8\) |
| \(p\) | \(3\) | \(13\) |
| \(p\) | \(7\) | \(23\) |
| \(q\) | \(1\) | \(2\) |
| \(q\) | \(2\) | \(4\) |
| \(q\) | \(4\) | \(8\) |
| \(q\) | \(6\) | \(12\) |
| \(r\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(-4\) |
| \(r\) | \(2\) | \(16\) |
| \(r\) | \(0\) | \(0\) |
| \(r\) | \(5\) | \(40\) |
Détermine laquelle des fonctions \(p\), \(q\) ou \(r\) est linéaire et indique son facteur de linéarité.
La fonction p n’est pas linéaire. Les fonctions q et r sont linéaires, avec des coefficients respectifs de 2 et 8.
Nous allons étudier chacune des trois fonctions pour voir si la variation de f(x) est proportionnelle à la variation de x (c’est-à-dire si le coefficient directeur est constant).
────────────────────────────── 1 – Étude de la fonction p
Les points donnés pour p sont : • p(–5) = 3
• p(0) = 8
• p(3) = 13
• p(7) = 23
Pour vérifier la linéarité, nous calculons le coefficient directeur entre deux points :
• Entre x = –5 et x = 0 :
Coefficient = (8 – 3) / (0 – (–5)) = 5 / 5 = 1
• Entre x = 0 et x = 3 :
Coefficient = (13 – 8) / (3 – 0) = 5 / 3 ≠ 1
Le coefficient change (de 1 à 5/3). Donc, la fonction p ne présente pas un coefficient constant et n’est pas linéaire.
────────────────────────────── 2 – Étude de la fonction q
Les points de q sont : • q(1) = 2
• q(2) = 4
• q(4) = 8
• q(6) = 12
Calculons le coefficient directeur :
• Entre x = 1 et x = 2 :
Coefficient = (4 – 2) / (2 – 1) = 2 / 1 = 2
• Entre x = 2 et x = 4 :
Coefficient = (8 – 4) / (4 – 2) = 4 / 2 = 2
• Entre x = 4 et x = 6 :
Coefficient = (12 – 8) / (6 – 4) = 4 / 2 = 2
Le coefficient est constant et vaut 2. Ainsi, la fonction q est linéaire et son facteur de linéarité (ou coefficient directeur) est 2.
────────────────────────────── 3 – Étude de la fonction r
Les points de r sont (même si l’ordre n’est pas croissant, cela ne
change pas la linéarité) : • r(–½) = –4
• r(0) = 0
• r(2) = 16
• r(5) = 40
Nous pouvons réordonner ces points par ordre croissant de x :
(–½, –4), (0, 0), (2, 16), (5, 40).
Calculons les coefficients :
• Entre x = –½ et x = 0 :
Coefficient = (0 – (–4)) / (0 – (–½)) = 4 / 0,5 = 8
• Entre x = 0 et x = 2 :
Coefficient = (16 – 0) / (2 – 0) = 16 / 2 = 8
• Entre x = 2 et x = 5 :
Coefficient = (40 – 16) / (5 – 2) = 24 / 3 = 8
Le coefficient reste toujours égal à 8. La fonction r est donc linéaire et son facteur de linéarité est 8.
────────────────────────────── Conclusion
La fonction p n’est pas linéaire car le coefficient directeur n’est
pas constant. En revanche, les fonctions q et r sont linéaires.
• Pour la fonction q, on a f(x) = 2x, avec un facteur de linéarité de
2.
• Pour la fonction r, on a f(x) = 8x, avec un facteur de linéarité de
8.
Ainsi, en réponse à la question, on peut indiquer que parmi les trois fonctions, q et r sont linéaires. Le facteur de linéarité de la fonction q est 2, tandis que celui de la fonction r est 8.