Exercice 64

Question : Voici seize expressions fonctionnelles :

1. \(a: x \mapsto 4x - 5\)
2. \(b: x \mapsto x^{3}\)
3. \(c: x \mapsto -2x^{2} + 7\)
4. \(d: x \mapsto 25x\)
5. \(e: x \mapsto 9x\)
6. \(f: x \mapsto x^{2} - 4\)
7. \(g: x \mapsto 8\)
8. \(h: x \mapsto -3x^{2} + 2x\)
9. \(\mathfrak{k}: x \mapsto \dfrac{3x}{2} + 1\)
10. \(l: x \mapsto \dfrac{2x}{50}\)
11. \(m: x \mapsto -4x\)
12. \(n: x \mapsto x - 1,2\)
13. \(o: x \mapsto 2\)
14. \(p: x \mapsto \dfrac{3}{50}x\)
15. \(q: x \mapsto 2 + x\)
16. \(r: x \mapsto \dfrac{5x}{3} + \dfrac{2}{5}\)

1. Lesquelles possèdent une droite comme représentation graphique ?

2. Lesquelles sont des fonctions linéaires ?

3. Lesquelles sont des fonctions constantes ?

4. Lesquelles sont des fonctions affines ?

Réponse

1. Fonctions dont le graphique est une droite : a, d, e, g, k, l, m, n, o, p, q, r.
   
2. Fonctions linéaires (de la forme f(x) = ax) : d, e, l, m, p.
   
3. Fonctions constantes : g, o.
   
4. Fonctions affines (de la forme f(x) = ax + b) : a, d, e, g, k, l, m, n, o, p, q, r.

Corrigé détaillé

Nous allons analyser chacune des fonctions afin de déterminer leurs propriétés.

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1) Rappel des définitions :

• Une fonction dont la représentation graphique est une droite est une fonction de la forme f(x) = ax + b. Même si a = 0, la fonction est constante et sa représentation est une droite horizontale.

• On appelle fonction linéaire une fonction de la forme f(x) = ax (avec a ≠ 0, de façon usuelle) car elle vérifie f(0) = 0.

• Une fonction constante est une fonction de la forme f(x) = c, c étant un nombre réel fixe.

• Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, sans hypothèse sur a et b (b pouvant être nul ou non).

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2) Récapitulons les seize expressions données :

1. a : x ↦ 4x – 5
   
2. b : x ↦ x³
   
3. c : x ↦ –2x² + 7
   
4. d : x ↦ 25x
   
5. e : x ↦ 9x
   
6. f : x ↦ x² – 4
   
7. g : x ↦ 8
   
8. h : x ↦ –3x² + 2x
   
9. k : x ↦ (3/2)x + 1
   
10. l : x ↦ (2x)/50 (ce qui se simplifie en x/25)
    
11. m : x ↦ –4x
    
12. n : x ↦ x – 1,2
    
13. o : x ↦ 2
    
14. p : x ↦ (3/50)x
    
15. q : x ↦ 2 + x (que l’on peut écrire x + 2)
    
16. r : x ↦ (5/3)x + (2/5)

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a) Fonctions dont la représentation graphique est une droite

Pour avoir une droite comme graphique, la fonction doit être de la forme f(x) = ax + b, sans terme en x², x³, etc.
Examinons :

• Fonction a : 4x – 5    → forme ax + b (droite)
• Fonction b : x³      → fonction du 3ᵉ degré (courbe)
• Fonction c : –2x² + 7   → fonction du 2ᵉ degré (parabole)
• Fonction d : 25x      → forme ax (droite)
• Fonction e : 9x       → forme ax (droite)
• Fonction f : x² – 4     → fonction du 2ᵉ degré (parabole)
• Fonction g : 8        → constante (droite horizontale)
• Fonction h : –3x² + 2x   → fonction du 2ᵉ degré (parabole)
• Fonction k : (3/2)x + 1   → forme ax + b (droite)
• Fonction l : x/25      → forme ax (droite)
• Fonction m : –4x       → forme ax (droite)
• Fonction n : x – 1,2     → forme ax + b (droite)
• Fonction o : 2        → constante (droite horizontale)
• Fonction p : (3/50)x     → forme ax (droite)
• Fonction q : x + 2      → forme ax + b (droite)
• Fonction r : (5/3)x + (2/5)  → forme ax + b (droite)

Ainsi, les fonctions dont la représentation graphique est une droite sont :
a, d, e, g, k, l, m, n, o, p, q, r.

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b) Fonctions linéaires

Une fonction linéaire doit être de la forme f(x) = ax, c’est-à-dire sans terme constant (b = 0) et avec a ≠ 0.
Vérifions parmi celles qui donnent une droite :

• a : 4x – 5   → b ≠ 0, donc pas linéaire.
• d : 25x    → f(0) = 0, c’est linéaire.
• e : 9x     → linéaire.
• g : 8      → f(x) ne dépend pas de x; ce n’est pas linéaire (car f(0) = 8 ≠ 0).
• k : (3/2)x + 1  → b ≠ 0, donc pas linéaire.
• l : x/25     → linéaire.
• m : –4x     → linéaire.
• n : x – 1,2    → b ≠ 0, donc pas linéaire.
• o : 2       → fonction constante, pas linéaire.
• p : (3/50)x    → linéaire.
• q : x + 2     → b ≠ 0, donc pas linéaire.
• r : (5/3)x + (2/5)  → b ≠ 0, donc pas linéaire.

Les fonctions linéaires sont donc : d, e, l, m, p.

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c) Fonctions constantes

Une fonction constante est de la forme f(x) = c, sans terme en x.
Parmi nos fonctions, on remarque :

• g : 8
• o : 2

Ce sont les deux fonctions constantes.

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d) Fonctions affines

Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b (avec a et b quelconques) et comprend ainsi aussi bien les fonctions linéaires que les fonctions constantes (lorsque a = 0).
En revenant aux fonctions dont le graphique est une droite (voir point a), on a :
a, d, e, g, k, l, m, n, o, p, q, r.

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Récapitulatif des réponses :

1. Représentation graphique par une droite :
   Fonctions a, d, e, g, k, l, m, n, o, p, q, r.

2. Fonctions linéaires (de la forme f(x) = ax) :
   Fonctions d, e, l, m, p.

3. Fonctions constantes :
   Fonctions g, o.

4. Fonctions affines (de la forme f(x) = ax + b) :
   Fonctions a, d, e, g, k, l, m, n, o, p, q, r.

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Ces analyses détaillées permettent de bien comprendre la nature de chacune des fonctions.