Question : Soit le programme de calcul suivant :
Exécute ce programme de calcul pour \(x = 4\).
Que remarques-tu ?
Quelle expression obtiens-tu si le nombre de départ est \(x\) ?
Explique ta réponse à la question e.
Résumé :
En exécutant le programme avec \(x =
4\), le résultat obtenu est \(-5\). L’expression générale en fonction de
\(x\) est \(E(x) = \dfrac{-5x + 5}{3}\), ce qui montre
une relation linéaire où le résultat diminue proportionnellement à
l’augmentation de \(x\).
Exécute ce programme de calcul pour \(x = 4\).
Solution :
Nous allons suivre les étapes du programme en remplaçant \(x\) par \(4\).
Choisis un nombre.
\[ x = 4 \]
Ajoute 5 à ce nombre.
\[ 4 + 5 = 9 \]
Divise le résultat par \(3\).
\[ \frac{9}{3} = 3 \]
Soustrais le double du nombre de départ.
\[ \text{Double de } x = 2 \times 4 = 8 \]
\[ 3 - 8 = -5 \]
Réponse : Après exécution du programme avec \(x = 4\), le résultat obtenu est \(-5\).
Que remarques-tu ?
Correction :
En exécutant le programme de calcul avec \(x = 4\), nous avons obtenu le résultat \(-5\). Pour mieux comprendre ce que cela implique, observons ce qui se passe de manière générale lorsque l’on applique ce programme à un nombre quelconque \(x\).
Quelle expression obtiens-tu si le nombre de départ est \(x\) ?
Solution :
Développons chaque étape du programme en termes de \(x\).
Choisis un nombre.
\[ x \]
Ajoute 5 à ce nombre.
\[ x + 5 \]
Divise le résultat par \(3\).
\[ \frac{x + 5}{3} \]
Soustrais le double du nombre de départ.
\[ \frac{x + 5}{3} - 2x \]
Simplifions cette expression :
\[ \frac{x + 5}{3} - \frac{6x}{3} = \frac{x + 5 - 6x}{3} = \frac{-5x + 5}{3} = \frac{-5(x - 1)}{3} \]
Ainsi, l’expression finale est :
\[ E(x) = \frac{-5x + 5}{3} \]
Réponse : L’expression obtenue en fonction de \(x\) est \(E(x) = \dfrac{-5x + 5}{3}\).
Explique ta réponse à la question e.
Correction :
En observant l’expression générale \(E(x) = \dfrac{-5x + 5}{3}\), on peut analyser son comportement pour différents \(x\).
Relation linéaire :
L’expression est une fonction linéaire de \(x\), ce qui signifie que pour chaque unité d’augmentation de \(x\), le résultat \(E(x)\) diminue de \(\dfrac{5}{3}\).
Intercept sur l’axe vertical :
Lorsque \(x = 0\),
\[ E(0) = \frac{-5(0) + 5}{3} = \frac{5}{3} \approx 1,67 \]
Cela signifie que le graphe de la fonction coupe l’axe des ordonnées à \(\dfrac{5}{3}\).
Interprétation pour \(x = 4\) :
Comme nous l’avons vu dans la question d, avec \(x = 4\),
\[ E(4) = \frac{-5(4) + 5}{3} = \frac{-20 + 5}{3} = \frac{-15}{3} = -5 \]
Ce résultat confirme que le programme de calcul diminue la valeur initiale \(x\) de manière proportionnelle.
Réponse : La remarque faite est que le résultat obtenu dépend linéairement de \(x\) et diminue à mesure que \(x\) augmente. L’expression générale \(E(x) = \dfrac{-5x + 5}{3}\) montre que chaque augmentation de \(x\) réduit le résultat de \(\dfrac{5}{3}\), ce qui explique la relation observée dans la question d.