Question : Soient \(h\) et \(k\) deux fonctions affines telles que :
\[ \begin{cases} h(0) = 3 \\ h(4) = 11 \end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases} k(0) = 2 \\ k(4) = 10 \end{cases} \]
Justifie que ces fonctions ne sont pas linéaires.
Quelle est la nature de leurs représentations graphiques ?
Écris \(h(x)\) et \(k(x)\) sous la forme \(a x + b\), où \(a\) et \(b\) sont à déterminer.
Détermine par le calcul la valeur de \(x\) pour laquelle \(h(x) = k(x)\).
Complète le tableau de valeurs suivant.
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) | ||||||
| \(k(x)\) |
Construis les courbes représentatives \(d_{h}\) et \(d_{k}\) des fonctions \(h\) et \(k\) dans un repère.
Retrouve la valeur de \(x\) pour laquelle \(h(x) = k(x)\) sur le graphique en utilisant les pointillés nécessaires.
Détermine les coordonnées exactes du point \(L\), intersection de \(d_{h}\) et \(d_{k}\).
Résous graphiquement \(h(x) < k(x)\).
Les fonctions sont h(x)=2x+3 et k(x)=2x+2, donc elles ne sont pas linéaires (leurs constantes diffèrent de 0) et sont parallèles (même pente 2). Elles n’ont aucun point d’intersection et h(x) est toujours supérieure à k(x), ainsi l’inéquation h(x)<k(x) n’a aucune solution.
Nous allons étudier les deux fonctions affines h et k, dont on connaît quelques valeurs, étape par étape :
────────────────────────────── 1. Calcul de l’expression de h(x) et k(x)
On sait qu’une fonction affine s’écrit sous la forme f(x) = ax + b.
• Pour h : – On nous donne h(0) = 3. En remplaçant x par 0 dans h(x) = a·x + b, on obtient : a·0 + b = 3 ⟹ b = 3. – On connaît également h(4) = 11. En substituant x = 4 : a·4 + 3 = 11 ⟹ 4a = 11 – 3 = 8 ⟹ a = 8 ÷ 4 = 2. Ainsi, h(x) = 2x + 3.
• Pour k : – On sait que k(0) = 2, donc en écrivant k(x) = a·x + b on a : a·0 + b = 2 ⟹ b = 2. – De plus, k(4) = 10, donc : a·4 + 2 = 10 ⟹ 4a = 10 – 2 = 8 ⟹ a = 8 ÷ 4 = 2. Ainsi, k(x) = 2x + 2.
────────────────────────────── a. Justification que ces fonctions ne sont pas linéaires
Une fonction linéaire, dans le sens usuel dans les exercices de
collège, est une fonction de la forme f(x) = ax (c’est-à-dire avec b =
0).
• Ici, pour h(x), on a h(0) = 3 ≠ 0.
• Pour k(x), on a k(0) = 2 ≠ 0.
Ainsi, aucune des deux fonctions n’est linéaire.
────────────────────────────── b. Nature des représentations graphiques
Les fonctions h et k sont des fonctions affines, donc leurs
représentations graphiques sont des droites dans le plan
cartésien.
• On remarque aussi que les deux fonctions ont la même pente (a = 2), ce
qui signifie que leurs droites sont parallèles.
────────────────────────────── c. Expression de h(x) et k(x) sous la forme ax + b
Nous avons déjà trouvé : • h(x) = 2x + 3
• k(x) = 2x + 2
────────────────────────────── d. Détermination par le calcul de la valeur de x pour laquelle h(x) = k(x)
Pour trouver x tel que h(x) = k(x), on écrit l’équation :
2x + 3 = 2x + 2
En soustrayant 2x des deux côtés, on obtient :
3 = 2
Cette égalité est fausse, ce qui signifie qu’il n’existe aucune valeur
de x qui vérifie h(x) = k(x).
────────────────────────────── e. Compléter le tableau de valeurs
Nous allons calculer h(x) et k(x) pour chacune des valeurs de x données.
Pour h(x) = 2x + 3 : – Pour x = 0 : h(0) = 2×0 + 3 = 3
– Pour x = 1 : h(1) = 2×1 + 3 = 5
– Pour x = 2 : h(2) = 2×2 + 3 = 7
– Pour x = 3 : h(3) = 2×3 + 3 = 9
– Pour x = 4 : h(4) = 2×4 + 3 = 11
– Pour x = 5 : h(5) = 2×5 + 3 = 13
Pour k(x) = 2x + 2 : – Pour x = 0 : k(0) = 2×0 + 2 = 2
– Pour x = 1 : k(1) = 2×1 + 2 = 4
– Pour x = 2 : k(2) = 2×2 + 2 = 6
– Pour x = 3 : k(3) = 2×3 + 2 = 8
– Pour x = 4 : k(4) = 2×4 + 2 = 10
– Pour x = 5 : k(5) = 2×5 + 2 = 12
Le tableau complété est donc :
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
────────────────────────────────────
h(x) | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13
k(x) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12
────────────────────────────── f. Construction des courbes représentatives dans un repère
Pour dessiner les droites représentatives des fonctions h et k, on
procède ainsi : 1. Tracer un repère avec un axe horizontal (l’axe des
x) et un axe vertical (l’axe des y).
2. Placer les points calculés pour h(x) : (0, 3), (1, 5), (2, 7), …,
(5, 13) et tracer une droite passant par ces points. Cette droite est
notée dh.
3. Placer les points obtenus pour k(x) : (0, 2), (1, 4), (2, 6), …, (5,
12) et tracer une droite passant par ces points. Cette droite est notée
dk.
On remarque que ces deux droites ont la même pente (2) et sont donc
parallèles.
────────────────────────────── g. Retrouver la valeur de x pour laquelle h(x) = k(x) sur le graphique
Sur le graphique, comme les droites dh et dk sont parallèles, elles
ne se coupent pas.
Ainsi, en traçant des pointillés ou en observant le repère, on constate
qu’aucun point commun n’existe.
On retrouve ainsi graphiquement l’absence de solution pour l’équation
h(x) = k(x).
────────────────────────────── h. Détermination des coordonnées exactes du point L, intersection de dh et dk
Puisque l’équation h(x) = k(x) donne 3 = 2, ce qui est impossible, il
n’existe pas de point d’intersection.
Autrement dit, il n’y a pas de point L commun aux deux droites.
────────────────────────────── i. Résolution graphique de l’inéquation h(x) < k(x)
Pour étudier l’inéquation h(x) < k(x), comparons les expressions
des deux fonctions : h(x) = 2x + 3 et k(x) = 2x + 2. On peut remarquer
que pour tout x, h(x) = k(x) + 1.
Ainsi, pour chaque valeur de x, h(x) est toujours supérieure de 1 à k(x)
: – Par exemple, pour x = 0, h(0) = 3 et k(0) = 2, donc h(0) > k(0).
– Pour x = 1, h(1) = 5 et k(1) = 4, donc h(1) > k(1). En
conséquence, l’inéquation h(x) < k(x) n’est jamais vérifiée.
Graphiquement, cela se traduit par le fait que la droite dh se trouve
toujours au-dessus de la droite dk.
────────────────────────────── Conclusion
Nous avons montré que : 1. Les fonctions h et k ne sont pas linéaires car h(0) ≠ 0 et k(0) ≠ 0. 2. Leurs représentations graphiques sont des droites, qui sont parallèles l’une à l’autre. 3. Leur expression est h(x) = 2x + 3 et k(x) = 2x + 2. 4. L’équation h(x) = k(x) admet aucune solution, ce qui signifie qu’il n’existe aucun x tel que h(x) = k(x). 5. Les tableaux de valeurs sont complétés comme indiqué. 6. La construction graphique confirme que les droites ne se coupent pas. 7. De même, l’inéquation h(x) < k(x) n’admet aucune solution puisque h(x) est toujours supérieure à k(x).
Cette démarche détaillée permet de comprendre l’ensemble des étapes visant à résoudre l’exercice.