Question : Soient les fonctions \(f : x \mapsto 3x\) et \(g : x \mapsto -3x\).
Déterminez la nature de leurs représentations graphiques et justifiez votre réponse.
Calculez les coordonnées des points \(F\) et \(G\) d’abscisse 1 sur les courbes de \(f\) et \(g\) respectivement.
Tracez la courbe de \(f\).
Tracez la courbe de \(g\).
Résumé de la correction :
Les graphes de \(f\) et \(g\) sont des droites linéaires passant par l’origine.
Les coordonnées des points sont \(F(1,\,3)\) et \(G(1,\,-3)\).
La courbe de \(f\) est une droite ascendante de pente 3.
La courbe de \(g\) est une droite descendante de pente -3.
Nous allons résoudre chacune des parties de la question étape par étape.
Étape 1 : Identifier les fonctions
Nous avons deux fonctions définies par : - \(f : x \mapsto 3x\) - \(g : x \mapsto -3x\)
Étape 2 : Reconnaître le type de fonction
Les deux fonctions sont de la forme \(y = kx\), où \(k\) est une constante.
Étape 3 : Conclure sur la représentation graphique
Les fonctions de cette forme sont des fonctions affines sans terme constant, ce qui signifie que leur représentation graphique est une droite linéaire passant par l’origine (0,0).
Justification :
Ainsi, les deux fonctions sont représentées par des droites linéaires dont les pentes sont respectivement \(3\) et \(-3\), et elles passent toutes les deux par le point (0,0).
Étape 1 : Calculer \(F\) sur la courbe de \(f\)
La fonction \(f\) est définie par \(f(x) = 3x\).
Pour une abscisse \(x = 1\) : \[ f(1) = 3 \times 1 = 3 \]
Donc, les coordonnées du point \(F\) sont : \[ F(1, 3) \]
Étape 2 : Calculer \(G\) sur la courbe de \(g\)
La fonction \(g\) est définie par \(g(x) = -3x\).
Pour une abscisse \(x = 1\) : \[ g(1) = -3 \times 1 = -3 \]
Donc, les coordonnées du point \(G\) sont : \[ G(1, -3) \]
Étape 1 : Identifier les points clés
Nous savons que la droite passe par l’origine et a une pente de \(3\). Calculons quelques points pour tracer la courbe.
Pour \(x = 0\) : \[ f(0) = 3 \times 0 = 0 \quad \Rightarrow \quad (0, 0) \]
Pour \(x = 1\) : \[ f(1) = 3 \times 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad (1, 3) \]
Pour \(x = -1\) : \[ f(-1) = 3 \times (-1) = -3 \quad \Rightarrow \quad (-1, -3) \]
Étape 2 : Tracer la droite
En traçant ces points sur un graphique et en les reliant, on obtient une droite qui monte de gauche à droite avec une pente de \(3\).
Étape 1 : Identifier les points clés
La droite passe également par l’origine mais a une pente de \(-3\). Calculons quelques points pour tracer la courbe.
Pour \(x = 0\) : \[ g(0) = -3 \times 0 = 0 \quad \Rightarrow \quad (0, 0) \]
Pour \(x = 1\) : \[ g(1) = -3 \times 1 = -3 \quad \Rightarrow \quad (1, -3) \]
Pour \(x = -1\) : \[ g(-1) = -3 \times (-1) = 3 \quad \Rightarrow \quad (-1, 3) \]
Étape 2 : Tracer la droite
En traçant ces points sur un graphique et en les reliant, on obtient une droite qui descend de gauche à droite avec une pente de \(-3\).
Partie a) : Les graphiques de \(f\) et \(g\) sont des droites linéaires passant par l’origine.
Partie b) : Les points sont \(F(1, 3)\) et \(G(1, -3)\).
Parties c) et d) : Les courbes de \(f\) et \(g\) sont des droites avec des pentes de \(3\) et \(-3\) respectivement, passant par l’origine.
Voici une représentation graphique des deux fonctions :
[ \[\begin{array}{c} \begin{tikzpicture}[scale=1] \draw[->] (-2,0) -- (2,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-4) -- (0,4) node[above] {$y$}; % Fonction f(x) = 3x \draw[blue, thick, domain=-1.3:1.3] plot (\x, {3*\x}) node[right] {$f(x) = 3x$}; % Fonction g(x) = -3x \draw[red, thick, domain=-1.3:1.3] plot (\x, {-3*\x}) node[below] {$g(x) = -3x$}; % Points \fill (1,3) circle (2pt) node[above right] {$F(1,3)$}; \fill (1,-3) circle (2pt) node[below right] {$G(1,-3)$}; \end{tikzpicture} \end{array}\]]
Dans le graphique ci-dessus : - La droite bleue représente \(f(x) = 3x\). - La droite rouge représente \(g(x) = -3x\). - Les points \(F(1,3)\) et \(G(1,-3)\) sont marqués sur leurs courbes respectives.