Complétez le tableau de valeurs et les phrases concernant la fonction \(q\).
| \(x\) | 3 | -1 | 9 | 5 | -6 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(q(x)\) | 7 | -12 | 4 | 9 |
5 est l’image de 3 par la fonction \(q\).
Une préimage de 4 par la fonction \(q\) est 2.
5 a pour préimage 10 par la fonction \(q\).
\(q(-1) = 6\) et \(q(5) = \qquad\)
9 a pour image \(\qquad\) par la fonction \(q\).
L’image de \(\qquad\) par la fonction \(q\) est 9.
Tableau complété : x : ?, 3, –1, 9, 5, ? , –6
q(x) : 7, 5, 6, –12, 4, ? , 9
Vrai ou Faux :
a. Vrai (q(3) = 5)
b. Faux (la préimage connue de 4 est 5, pas 2)
c. Faux (5 est l’image de 3, pas de 10)
d. q(–1) = 6 et q(5) = 4
e. L’image de 9 est –12
f. L’image de –6 est 9.
Nous allons reprendre l’énoncé et compléter, étape par étape, le tableau ainsi que les phrases en nous aidant des indications données.
────────────────────────────── 【Rappel de quelques définitions】
• « Image » : Pour un nombre x donné, l’image est le nombre obtenu en
appliquant la fonction (noté q(x)).
• « PrÉimage » : C’est le nombre x qui, une fois la fonction appliquée,
donne une certaine valeur.
────────────────────────────── 【Le tableau initial】
On nous présente un tableau comportant 7 paires (x ; q(x)) dont certaines valeurs sont manquantes :
x : ? , 3 , –1 , 9 , 5 , ? , –6
q(x) : 7 , ? , ? , –12 , 4 , ? , 9
Les phrases (a) à (f) nous donnent des indications complémentaires pour remplir ces cases ou pour parler des relations entre images et préimages.
────────────────────────────── 【Analysons chaque phrase】
– Cela veut dire que lorsque x = 3 on doit obtenir q(3) = 5.
– Dans le tableau, la case correspondant à x = 3 est vide. On complète
donc :
Pour x = 3, q(3) = 5.
Conclusion pour (a) : La phrase est VRAIE.
────────────────────────────── b. « Une préimage de 4 par la fonction q est 2. »
– Cette phrase affirme que q(2) = 4.
– Dans le tableau, on voit que pour x = 5, q(5) = 4. Il est possible
qu’une fonction qui n’est pas bijective ait plusieurs antécédents pour
une même image.
– Cependant, puisqu’on a déjà une donnée dans le tableau indiquant que 4
est l’image de 5 et qu’aucune information ne vient confirmer que q(2) =
4, nous considérons que la donnée connue est q(5) = 4.
En l’absence d’information supplémentaire, on répond :
La phrase (b) est FAUSSE (car, d’après le tableau, 4 est donnée pour x
= 5 et non pour x = 2).
────────────────────────────── c. « 5 a pour préimage 10 par la fonction q. »
– Cela signifie que q(10) = 5.
– On sait déjà (par la phrase a) que q(3) = 5, ce qui signifie que 5 est
l’image de 3.
– Aucun indice dans l’énoncé ou dans le tableau ne permet d’affirmer que
q(10) = 5.
On conclut donc que cette affirmation est FAUSSE.
────────────────────────────── d. « q(-1) = 6 et q(5) = ______ »
– La phrase nous demande de compléter la valeur manquante pour
q(5).
– Le tableau nous indique pour la colonne où x = 5 que q(5) = 4.
On compléte : q(5) = 4.
– Par ailleurs, la phrase indique aussi que q(-1) = 6. On complète ainsi la case du tableau pour x = –1 : q(–1) = 6.
────────────────────────────── e. « 9 a pour image ______ par la fonction q. »
– Ici, 9 est présent en position d’entrée (x). On cherche donc
q(9).
– Dans le tableau, pour x = 9, il est indiqué que q(9) = –12.
La réponse est donc : L’image de 9 par q est –12.
────────────────────────────── f. « L’image de ______ par la fonction q est 9. »
– Cette phrase nous demande de trouver le nombre x tel que q(x) =
9.
– Dans le tableau, la dernière colonne indique que pour x = –6, q(–6) =
9.
On complète donc : L’image de –6 par la fonction q est 9.
────────────────────────────── 【Bilan des complétions et corrections】
x : ? , 3 , –1 , 9 , 5 , ? , –6
q(x) : 7 , 5 , 6 , –12 , 4 , ? , 9
(Les deux cases « ? » restent inchangées, aucune information ne permet de les déterminer à partir des phrases données.)
────────────────────────────── 【Conclusion】
La correction complète est la suivante :
• Dans le tableau, on remplit :
– pour x = 3, q(3) = 5
– pour x = –1, q(–1) = 6
– pour x = 9, q(9) = –12
– pour x = 5, q(5) = 4
– pour x = –6, q(–6) = 9
Les deux autres paires restent inconnues.
• Les phrases se corrigent ainsi :
a. VRAI car q(3) = 5.
b. FAUX (la préimage connue de 4 est 5, pas 2).
c. FAUX (5 est l’image de 3 et aucune indication ne justifie
q(10)=5).
d. q(–1) = 6 et q(5) = 4.
e. 9 a pour image –12.
f. L’image de –6 est 9.
Cette démarche permet de vérifier chaque donnée de l’énoncé et de compléter correctement le tableau et les phrases.