Exercice 56

Question : Voici un programme de calcul :

1. Choisis un nombre.
2. Soustrais 4 à ce nombre.
3. Multiplie la différence par 2.
4. Ajoute 10 au résultat.

1. Applique ce programme avec le nombre 5.

2. Soit \(x\) le nombre initial. Détermine la fonction \(h\) qui associe à \(x\) le résultat du programme.

3. Calcule \(h(3)\).

4. Quel nombre doit-on choisir pour obtenir 14 ?

Réponse

Résumé de la correction :

1. En appliquant le programme au nombre 5, le résultat final est 12.

2. La fonction associée au programme est \(h(x) = 2x + 2\).

3. Calculé avec \(x = 3\), \(h(3) = 8\).

4. Le nombre initial pour obtenir 14 est \(x = 6\).

Corrigé détaillé

Correction :

a. Application du programme avec le nombre 5

Appliquons les étapes du programme avec le nombre initial \(5\) :

1. Choisir un nombre :
   \(x = 5\)

2. Soustraire 4 à ce nombre :
   \(5 - 4 = 1\)

3. Multiplier la différence par 2 :
   \(1 \times 2 = 2\)

4. Ajouter 10 au résultat :
   \(2 + 10 = 12\)

Résultat final : \(12\)

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b. Détermination de la fonction \(h\)

Soit \(x\) le nombre initial choisi. Développons le programme étape par étape pour exprimer \(h(x)\) en fonction de \(x\) :

1. Soustraire 4 au nombre initial :
   \(x - 4\)

2. Multiplier la différence par 2 :
   \(2 \times (x - 4) = 2x - 8\)

3. Ajouter 10 au résultat :
   \((2x - 8) + 10 = 2x + 2\)

Fonction associée au programme :
\[ h(x) = 2x + 2 \]

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c. Calcul de \(h(3)\)

Utilisons la fonction \(h(x) = 2x + 2\) pour calculer \(h(3)\) :

\[ \begin{align*} h(3) & = 2 \times 3 + 2 \\ & = 6 + 2 \\ & = 8 \end{align*} \]

Résultat : \(h(3) = 8\)

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d. Détermination du nombre pour obtenir 14

Nous cherchons le nombre initial \(x\) tel que \(h(x) = 14\). Utilisons la fonction \(h(x) = 2x + 2\) :

\[ \begin{align*} 2x + 2 & = 14 \\ 2x & = 14 - 2 \\ 2x & = 12 \\ x & = \frac{12}{2} \\ x & = 6 \end{align*} \]

Nombre à choisir : \(6\)