Question : Soit \(f\) une fonction affine définie par \(f(x) = 5x - 2\).
Calcule les rapports suivants : \[ \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \] \[ \frac{f(6) - f(-2)}{6 - (-2)} = \] \[ \frac{f(-1) - f(3)}{-1 - 3} = \]
Que remarques-tu ?
Les trois rapports calculés sont tous égaux à 5, qui est le coefficient directeur de la fonction affine \(f(x) = 5x - 2\). Ce coefficient représente la pente de la droite et indique le taux de variation de la fonction.
Nous allons résoudre chaque partie de l’exercice étape par étape.
Nous sommes donnés la fonction affine \(f(x) = 5x - 2\). Calculons les rapports demandés.
Étape 1 : Calculer \(f(4)\) et \(f(1)\)
\[ f(4) = 5 \times 4 - 2 = 20 - 2 = 18 \]
\[ f(1) = 5 \times 1 - 2 = 5 - 2 = 3 \]
Étape 2 : Calculer le rapport
\[ \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{18 - 3}{3} = \frac{15}{3} = 5 \]
Étape 1 : Calculer \(f(6)\) et \(f(-2)\)
\[ f(6) = 5 \times 6 - 2 = 30 - 2 = 28 \]
\[ f(-2) = 5 \times (-2) - 2 = -10 - 2 = -12 \]
Étape 2 : Calculer le rapport
\[ \frac{f(6) - f(-2)}{6 - (-2)} = \frac{28 - (-12)}{6 + 2} = \frac{28 + 12}{8} = \frac{40}{8} = 5 \]
Étape 1 : Calculer \(f(-1)\) et \(f(3)\)
\[ f(-1) = 5 \times (-1) - 2 = -5 - 2 = -7 \]
\[ f(3) = 5 \times 3 - 2 = 15 - 2 = 13 \]
Étape 2 : Calculer le rapport
\[ \frac{f(-1) - f(3)}{-1 - 3} = \frac{-7 - 13}{-4} = \frac{-20}{-4} = 5 \]
Après avoir calculé les trois rapports, on constate que chacun d’eux est égal à 5.
Cette valeur correspond au coefficient de \(x\) dans la fonction affine \(f(x) = 5x - 2\). Cela signifie que, pour une fonction affine de la forme \(f(x) = ax + b\), les rapports \(\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\) sont toujours égaux à \(a\), le coefficient directeur de la fonction.
Ainsi, le coefficient de \(x\) (ici \(5\)) représente la pente de la droite, indiquant le taux de variation de la fonction.