Exercice 52

Question : Parmi les fonctions suivantes, détermine :

\[ \begin{array}{l|l} f : x \mapsto 3x + 2 & j : x \mapsto -x^{2} + 4 \\ g : x \mapsto 7 + x & k : x \mapsto 0 \\ h : x \mapsto 2{,}5x & l : x \mapsto \dfrac{2}{x} \end{array} \]

1. Les fonctions affines

2. Les fonctions linéaires

3. Les fonctions constantes

4. Les fonctions non affines

Réponse

Réponse

1. Fonctions affines : \(f\), \(g\), \(h\), \(k\)
   
2. Fonctions linéaires : \(h\), \(k\)
   
3. Fonction constante : \(k\)
   
4. Fonctions non affines : \(j\), \(l\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée des exercices

Nous allons analyser chacune des parties de la question en identifiant les caractéristiques des fonctions données. Pour ce faire, nous devons d’abord comprendre les définitions des différents types de fonctions mentionnées.

Définitions clés

1. Fonction affine : Une fonction de la forme \(f(x) = ax + b\), où \(a\) et \(b\) sont des constantes réelles et \(a \neq 0\).
2. Fonction linéaire : Une fonction de la forme \(f(x) = ax\), c’est-à-dire une fonction affine où \(b = 0\).
3. Fonction constante : Une fonction dont l’expression est \(f(x) = k\), où \(k\) est une constante réelle. Elle ne dépend pas de \(x\).
4. Fonction non affine : Toute fonction qui ne peut pas être exprimée sous la forme d’une fonction affine.

Maintenant, examinons chaque fonction donnée dans le tableau :

\[ \begin{array}{l|l} f : x \mapsto 3x + 2 & j : x \mapsto -x^{2} + 4 \\ g : x \mapsto 7 + x & k : x \mapsto 0 \\ h : x \mapsto 2{,}5x & l : x \mapsto \dfrac{2}{x} \end{array} \]

Analysons chaque partie de la question :

a. Les fonctions affines

Pour qu’une fonction soit affine, elle doit être de la forme \(f(x) = ax + b\), où \(a\) et \(b\) sont des constantes réelles.

Analysons les fonctions :

1. \(f(x) = 3x + 2\)
   Cette fonction est de la forme \(ax + b\) avec \(a = 3\) et \(b = 2\).
   Conclusion : Affine

2. \(g(x) = 7 + x\)
   On peut réécrire cette fonction comme \(g(x) = x + 7\), donc \(a = 1\) et \(b = 7\).
   Conclusion : Affine

3. \(h(x) = 2{,}5x\)
   Cette fonction est de la forme \(ax\) avec \(a = 2{,}5\), ce qui est une fonction affine où \(b = 0\).
   Conclusion : Affine

4. \(j(x) = -x^{2} + 4\)
   Cette fonction comporte un terme en \(x^{2}\), elle n’est donc pas de la forme \(ax + b\).
   Conclusion : Non affine

5. \(k(x) = 0\)
   Cette fonction est constante, elle peut être vue comme une fonction affine où \(a = 0\) et \(b = 0\).
   Conclusion : Affine

6. \(l(x) = \dfrac{2}{x}\)
   Cette fonction comporte une division par \(x\), elle n’est pas de la forme \(ax + b\).
   Conclusion : Non affine

Résultat : Les fonctions affines sont \(f\), \(g\), \(h\) et \(k\).

b. Les fonctions linéaires

Une fonction est linéaire si elle est de la forme \(f(x) = ax\), c’est-à-dire une fonction affine où \(b = 0\).

Analysons les fonctions :

1. \(f(x) = 3x + 2\)
   \(b = 2 \neq 0\).
   Conclusion : Non linéaire

2. \(g(x) = x + 7\)
   \(b = 7 \neq 0\).
   Conclusion : Non linéaire

3. \(h(x) = 2{,}5x\)
   Cette fonction est de la forme \(ax\) avec \(a = 2{,}5\).
   Conclusion : Linéaire

4. \(j(x) = -x^{2} + 4\)
   Non linéaire car présente un terme en \(x^{2}\).
   Conclusion : Non linéaire

5. \(k(x) = 0\)
   Cette fonction peut être considérée comme \(f(x) = 0x\), donc \(a = 0\).
   Conclusion : Linéaire

6. \(l(x) = \dfrac{2}{x}\)
   Non linéaire car dépend de \(\dfrac{1}{x}\).
   Conclusion : Non linéaire

Résultat : Les fonctions linéaires sont \(h\) et \(k\).

c. Les fonctions constantes

Une fonction est constante si sa valeur ne dépend pas de \(x\), c’est-à-dire de la forme \(f(x) = k\), où \(k\) est une constante.

Analysons les fonctions :

1. \(f(x) = 3x + 2\)
   Dépend de \(x\).
   Conclusion : Non constante

2. \(g(x) = x + 7\)
   Dépend de \(x\).
   Conclusion : Non constante

3. \(h(x) = 2{,}5x\)
   Dépend de \(x\).
   Conclusion : Non constante

4. \(j(x) = -x^{2} + 4\)
   Dépend de \(x\).
   Conclusion : Non constante

5. \(k(x) = 0\)
   Ne dépend pas de \(x\), elle est toujours égale à 0.
   Conclusion : Constante

6. \(l(x) = \dfrac{2}{x}\)
   Dépend de \(x\).
   Conclusion : Non constante

Résultat : La seule fonction constante est \(k\).

d. Les fonctions non affines

Une fonction non affine est toute fonction qui ne peut pas être exprimée sous la forme \(ax + b\).

Analysons les fonctions restantes :

1. \(j(x) = -x^{2} + 4\)
   Présente un terme en \(x^{2}\).
   Conclusion : Non affine

2. \(l(x) = \dfrac{2}{x}\)
   Dépend de \(\dfrac{1}{x}\).
   Conclusion : Non affine

Résultat : Les fonctions non affines sont \(j\) et \(l\).

Récapitulatif des classifications

1. Fonctions affines : \(f\), \(g\), \(h\), \(k\)
   
2. Fonctions linéaires : \(h\), \(k\)
   
3. Fonction constante : \(k\)
   
4. Fonctions non affines : \(j\), \(l\)