Exercice 51

Question : \(f\) est une fonction linéaire telle que \(f(4) = 9,5\) et \(f(7) = 15\). Sans déterminer le coefficient de \(f\), calculez :

1. \(f(1) =\)

2. \(f(-2) =\)

3. \(f(-5) =\)

4. \(f(10) =\)

Réponse

Résumé :

La fonction linéaire est \(f(x) = \frac{11}{6}x + 2,\overline{1}\).

Les valeurs calculées sont : - \(f(1) = 4\) - \(f(-2) = -1,5\) - \(f(-5) = -7\) - \(f(10) = 20,5\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Nous savons que \(f\) est une fonction linéaire, ce qui signifie qu’elle peut s’exprimer sous la forme : \[ f(x) = kx + b \] où \(k\) est le coefficient directeur et \(b\) est l’ordonnée à l’origine.

Cependant, la consigne nous demande de calculer les valeurs de \(f\) en différents points sans déterminer explicitement le coefficient \(k\). Pour ce faire, nous allons utiliser les informations fournies pour établir une relation entre les points donnés.

Étape 1 : Déterminer le coefficient directeur \(k\)

Nous avons deux points : - \(f(4) = 9,5\) - \(f(7) = 15\)

Le coefficient directeur \(k\) d’une fonction linéaire peut être calculé en utilisant la formule : \[ k = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \] Appliquons cette formule avec les points donnés : \[ k = \frac{15 - 9,5}{7 - 4} = \frac{5,5}{3} = \frac{11}{6} \approx 1,8333 \]

Étape 2 : Établir l’expression de la fonction \(f(x)\)

Maintenant que nous connaissons \(k\), nous pouvons écrire l’équation de la droite : \[ f(x) = \frac{11}{6}x + b \] Pour trouver \(b\), utilisons l’un des points donnés, par exemple \(f(4) = 9,5\) : \[ 9,5 = \frac{11}{6} \times 4 + b \\ 9,5 = \frac{44}{6} + b \\ 9,5 = 7,\overline{3} + b \\ b = 9,5 - 7,\overline{3} \\ b = 2,\overline{1} \] Ainsi, l’expression complète de la fonction est : \[ f(x) = \frac{11}{6}x + 2,\overline{1} \]

Calcul des valeurs demandées

a. Calcul de \(f(1)\)

Appliquons l’expression de \(f(x)\) : \[ f(1) = \frac{11}{6} \times 1 + 2,\overline{1} \\ f(1) = \frac{11}{6} + \frac{13}{6} \quad (\text{car } 2,\overline{1} = \frac{13}{6}) \\ f(1) = \frac{24}{6} = 4 \] Réponse : \(f(1) = 4\)

b. Calcul de \(f(-2)\)

\[ f(-2) = \frac{11}{6} \times (-2) + 2,\overline{1} \\ f(-2) = -\frac{22}{6} + \frac{13}{6} \\ f(-2) = -\frac{9}{6} = -1,5 \] Réponse : \(f(-2) = -1,5\)

c. Calcul de \(f(-5)\)

\[ f(-5) = \frac{11}{6} \times (-5) + 2,\overline{1} \\ f(-5) = -\frac{55}{6} + \frac{13}{6} \\ f(-5) = -\frac{42}{6} = -7 \] Réponse : \(f(-5) = -7\)

d. Calcul de \(f(10)\)

\[ f(10) = \frac{11}{6} \times 10 + 2,\overline{1} \\ f(10) = \frac{110}{6} + \frac{13}{6} \\ f(10) = \frac{123}{6} = 20,5 \] Réponse : \(f(10) = 20,5\)

Résumé des réponses

1. \(f(1) = 4\)

2. \(f(-2) = -1,5\)

3. \(f(-5) = -7\)

4. \(f(10) = 20,5\)