Question : \(f\) est une fonction linéaire telle que \(f(5) = 3\).
Sans déterminer le coefficient de \(f\), calculez les valeurs suivantes :
\(f(15) =\)
\(f(-1,2) =\)
Réponse courte : f(15) = 9 et f(–1,2) = –0,72.
Nous savons que f est une fonction linéaire, c’est-à-dire qu’elle possède la propriété de proportionnalité. Une fonction linéaire peut s’écrire sous la forme f(x) = ax (on rappelle que, dans ce contexte, f(0) = 0). Autrement dit, lorsque x varie, f(x) varie de manière proportionnelle à x. Même si nous ne cherchons pas à déterminer le coefficient a, nous pouvons utiliser la proportionnalité pour trouver les valeurs demandées.
On nous donne f(5) = 3. Cela signifie que pour un argument de 5, la valeur de la fonction est 3. Pour toute fonction linéaire, le rapport entre f(x) et x reste constant. Ici, le rapport est : f(5)/5 = 3/5.
Nous remarquons que 15 est trois fois 5, c’est-à-dire 15 = 3 × 5. En utilisant la propriété de proportionnalité, f(15) sera trois fois f(5) : f(15) = 3 × f(5) = 3 × 3 = 9.
Pour un argument négatif ou décimal, le même principe s’applique. Ici, –1,2 s’exprime en fonction de 5 : Le rapport entre –1,2 et 5 est : (–1,2) / 5. Pour obtenir la valeur de f(–1,2), on multiplie ce rapport par f(5) : f(–1,2) = (–1,2/5) × f(5).
Sachant que f(5) = 3, on obtient : f(–1,2) = (–1,2/5) × 3.
Pour simplifier, on multiplie le numérateur : –1,2 × 3 = –3,6, donc f(–1,2) = –3,6/5.
Effectuons la division : 3,6 divisé par 5 donne 0,72, ainsi f(–1,2) = –0,72.
Récapitulatif des résultats :
Ces calculs reposent sur la propriété essentielle des fonctions linéaires : la proportionnalité entre la variable d’entrée et la valeur de la fonction. Ainsi, sans trouver explicitement le coefficient de proportionnalité, nous avons pu déterminer les résultats en établissant des rapports.