Exercice 49

Question : Complétez le tableau en indiquant les fonctions linéaires et leurs coefficients.

\[ \begin{array}{l|l} p : x \mapsto 3x + 2 & q : x \mapsto \dfrac{-4}{5}x \\ r : x \mapsto 2x - x & s : x \mapsto 7x + 1.5x \\ t : x \mapsto \dfrac{8}{x} & u : x \mapsto 5(x + 3) \\ v : x \mapsto -2x^{2} & w : x \mapsto 4(2 - x) + 4 \end{array} \]

Fonction linéaire
Coefficient \(\mathbf{t}\)

Réponse

Les fonctions linéaires et leurs coefficients sont :

• \(p(x) = 3x + 2\) avec \(m = 3\) et \(b = 2\)
• \(q(x) = -\dfrac{4}{5}x\) avec \(m = -\dfrac{4}{5}\) et \(b = 0\)
• \(r(x) = x\) avec \(m = 1\) et \(b = 0\)
• \(s(x) = 8{,}5x\) avec \(m = 8{,}5\) et \(b = 0\)
• \(u(x) = 5x + 15\) avec \(m = 5\) et \(b = 15\)
• \(w(x) = -4x + 12\) avec \(m = -4\) et \(b = 12\)

Les fonctions \(t(x)\) et \(v(x)\) ne sont pas linéaires.

Corrigé détaillé

Pour compléter le tableau en indiquant les fonctions linéaires et leurs coefficients, nous allons suivre les étapes suivantes :

1. Définir une fonction linéaire :

   Une fonction est dite linéaire si elle peut s’écrire sous la forme : \[ f(x) = mx + b \] où :

   • \(m\) est le coefficient directeur (pente) de la droite.
   • \(b\) est le terme constant (ordonnée à l’origine).

2. Analyser chaque fonction proposée :

   Examinons chaque fonction donnée dans le tableau pour déterminer si elle est linéaire et identifier ses coefficients.

   Fonction	Expression simplifiée	Linéaire ?	Coefficient \(m\)	Terme constant \(b\)
   \(p\) : \(x \mapsto 3x + 2\)	\(3x + 2\)	Oui	\(3\)	\(2\)
   \(q\) : \(x \mapsto \dfrac{-4}{5}x\)	\(-\dfrac{4}{5}x\)	Oui	\(-\dfrac{4}{5}\)	\(0\)
   \(r\) : \(x \mapsto 2x - x\)	\(x\)	Oui	\(1\)	\(0\)
   \(s\) : \(x \mapsto 7x + 1.5x\)	\(8.5x\)	Oui	\(8.5\)	\(0\)
   \(t\) : \(x \mapsto \dfrac{8}{x}\)	\(\dfrac{8}{x}\)	Non	-	-
   \(u\) : \(x \mapsto 5(x + 3)\)	\(5x + 15\)	Oui	\(5\)	\(15\)
   \(v\) : \(x \mapsto -2x^{2}\)	\(-2x^{2}\)	Non	-	-
   \(w\) : \(x \mapsto 4(2 - x) + 4\)	\(-4x + 12\)	Oui	\(-4\)	\(12\)

3. Explications détaillées :

   • Fonction \(p\) : \[ p(x) = 3x + 2 \]
     • Coefficient directeur (\(m\)) : \(3\)
     • Terme constant (\(b\)) : \(2\)
     • Conclusion : Fonction linéaire.
   • Fonction \(q\) : \[ q(x) = \dfrac{-4}{5}x \]
     • Coefficient directeur (\(m\)) : \(-\dfrac{4}{5}\)
     • Terme constant (\(b\)) : \(0\) (absence de terme constant)
     • Conclusion : Fonction linéaire.
   • Fonction \(r\) : \[ r(x) = 2x - x = x \]
     • Coefficient directeur (\(m\)) : \(1\)
     • Terme constant (\(b\)) : \(0\)
     • Conclusion : Fonction linéaire.
   • Fonction \(s\) : \[ s(x) = 7x + 1.5x = 8.5x \]
     • Coefficient directeur (\(m\)) : \(8.5\)
     • Terme constant (\(b\)) : \(0\)
     • Conclusion : Fonction linéaire.
   • Fonction \(t\) : \[ t(x) = \dfrac{8}{x} \]
     • Analyse : La variable \(x\) est au dénominateur, ce qui signifie que la fonction n’est pas de la forme \(mx + b\).
     • Conclusion : Non linéaire.
   • Fonction \(u\) : \[ u(x) = 5(x + 3) = 5x + 15 \]
     • Coefficient directeur (\(m\)) : \(5\)
     • Terme constant (\(b\)) : \(15\)
     • Conclusion : Fonction linéaire.
   • Fonction \(v\) : \[ v(x) = -2x^{2} \]
     • Analyse : La présence de \(x^{2}\) indique que la fonction est du second degré.
     • Conclusion : Non linéaire.
   • Fonction \(w\) : \[ w(x) = 4(2 - x) + 4 = 8 - 4x + 4 = -4x + 12 \]
     • Coefficient directeur (\(m\)) : \(-4\)
     • Terme constant (\(b\)) : \(12\)
     • Conclusion : Fonction linéaire.

4. Tableau récapitulatif final :

   Fonction linéaire	Coefficient \(m\)	Terme constant \(b\)
   \(p(x) = 3x + 2\)	\(3\)	\(2\)
   \(q(x) = -\dfrac{4}{5}x\)	\(-\dfrac{4}{5}\)	\(0\)
   \(r(x) = x\)	\(1\)	\(0\)
   \(s(x) = 8.5x\)	\(8.5\)	\(0\)
   \(u(x) = 5x + 15\)	\(5\)	\(15\)
   \(w(x) = -4x + 12\)	\(-4\)	\(12\)

   Remarque : Les fonctions \(t(x)\) et \(v(x)\) ne sont pas linéaires et ne sont donc pas incluses dans ce tableau.