Exercice 48

Question : Parmi les fonctions suivantes, détermine les fonctions affines, les fonctions linéaires et les fonctions constantes.

1. \(f(x) = 4x + 5\)
   
2. \(g(x) = -3x\)
   
3. \(h(x) = 2x^{2} + 1\)
   
4. \(k(x) = 5\)
   
5. \(l(x) = 6x - 8\)
   
6. \(m(x) = x\)

Réponse

Résumé de l’exercice :

• Fonctions Affines :
  • \(f(x) = 4x + 5\)
  • \(l(x) = 6x - 8\)
• Fonctions Linéaires :
  • \(g(x) = -3x\)
  • \(m(x) = x\)
• Fonction Constante :
  • \(k(x) = 5\)
• Autre :
  • \(h(x) = 2x^{2} + 1\) n’appartient à aucune catégorie.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons déterminer parmi les fonctions données lesquelles sont affines, linéaires ou constantes. Pour cela, rappelons d’abord les définitions de chaque type de fonction.

Définitions

1. Fonction Affine : Une fonction est dite affine si elle est de la forme \[ f(x) = ax + b \] où \(a\) et \(b\) sont des constantes et \(a \neq 0\).

2. Fonction Linéaire : Une fonction est linéaire si elle est de la forme \[ f(x) = ax \] où \(a\) est une constante. Notez qu’une fonction linéaire est une fonction affine sans terme constant (\(b = 0\)).

3. Fonction Constante : Une fonction est constante si elle est de la forme \[ f(x) = c \] où \(c\) est une constante indépendante de \(x\).

Analyse des Fonctions

Examinons maintenant chaque fonction proposée pour déterminer à laquelle de ces catégories elle appartient.

a. \(f(x) = 4x + 5\)

• Forme : Cette fonction est de la forme \(ax + b\) avec \(a = 4\) et \(b = 5\).
• Conclusion : Fonction Affine.

b. \(g(x) = -3x\)

• Forme : Cette fonction est de la forme \(ax\) avec \(a = -3\).
• Conclusion : Fonction Linéaire.

c. \(h(x) = 2x^{2} + 1\)

• Forme : Cette fonction contient un terme en \(x^{2}\), ce qui la rend quadratique.
• Conclusion : Ni Affine, Ni Linéaire, Ni Constante.

d. \(k(x) = 5\)

• Forme : Cette fonction ne dépend pas de \(x\) et est égale à une constante \(5\).
• Conclusion : Fonction Constante.

e. \(l(x) = 6x - 8\)

• Forme : Cette fonction est de la forme \(ax + b\) avec \(a = 6\) et \(b = -8\).
• Conclusion : Fonction Affine.

f. \(m(x) = x\)

• Forme : Cette fonction est de la forme \(ax\) avec \(a = 1\).
• Conclusion : Fonction Linéaire.

Résumé

• Fonctions Affines :
  • \(f(x) = 4x + 5\)
  • \(l(x) = 6x - 8\)
• Fonctions Linéaires :
  • \(g(x) = -3x\)
  • \(m(x) = x\)
• Fonction Constante :
  • \(k(x) = 5\)
• Autres :
  • \(h(x) = 2x^{2} + 1\) n’appartient à aucune des catégories demandées.

Conclusion

En identifiant la forme générale de chaque fonction et en comparant avec les définitions, nous avons pu classer correctement chaque fonction parmi les catégories affine, linéaire ou constante.