Question : Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \dfrac{5}{2}x - 3\). Calcule :
L’image de 4.
\(f\left(-2\right)\).
La préimage de 2.
Le nombre dont l’image est \(\dfrac{7}{2}\).
Résumé des réponses :
Correction détaillée des exercices :
Nous allons étudier la fonction \(f\) définie par : \[ f(x) = \dfrac{5}{2}x - 3 \] Analysons chacune des questions posées.
Étape 1 : Comprendre ce qu’est une image.
L’image d’un nombre \(x\) par la fonction \(f\) est le résultat de l’application de \(f\) sur \(x\), c’est-à-dire \(f(x)\).
Étape 2 : Remplacer \(x\) par 4 dans la fonction.
Calculons \(f(4)\) : \[ f(4) = \dfrac{5}{2} \times 4 - 3 \]
Étape 3 : Effectuer les calculs.
\[ \dfrac{5}{2} \times 4 = \dfrac{5 \times 4}{2} = \dfrac{20}{2} = 10 \] \[ 10 - 3 = 7 \]
Conclusion : \[ f(4) = 7 \]
Étape 1 : Remplacer \(x\) par \(-2\) dans la fonction.
Calculons \(f(-2)\) : \[ f(-2) = \dfrac{5}{2} \times (-2) - 3 \]
Étape 2 : Effectuer les calculs.
\[ \dfrac{5}{2} \times (-2) = \dfrac{5 \times (-2)}{2} = \dfrac{-10}{2} = -5 \] \[ -5 - 3 = -8 \]
Conclusion : \[ f(-2) = -8 \]
Étape 1 : Définir la préimage.
La préimage d’un nombre \(y\) est la valeur \(x\) telle que \(f(x) = y\).
Étape 2 : Écrire l’équation avec \(y = 2\).
\[ f(x) = 2 \Rightarrow \dfrac{5}{2}x - 3 = 2 \]
Étape 3 : Résoudre l’équation pour \(x\).
\[ \dfrac{5}{2}x - 3 = 2 \] \[ \dfrac{5}{2}x = 2 + 3 \] \[ \dfrac{5}{2}x = 5 \] \[ x = 5 \times \dfrac{2}{5} \] \[ x = 2 \]
Conclusion : La préimage de 2 est \(x = 2\).
Étape 1 : Définir la relation.
Nous recherchons \(x\) tel que : \[ f(x) = \dfrac{7}{2} \]
Étape 2 : Écrire l’équation avec \(f(x) = \dfrac{7}{2}\).
\[ \dfrac{5}{2}x - 3 = \dfrac{7}{2} \]
Étape 3 : Résoudre l’équation pour \(x\).
\[ \dfrac{5}{2}x - 3 = \dfrac{7}{2} \] \[ \dfrac{5}{2}x = \dfrac{7}{2} + 3 \] Pour additionner les termes, exprimons 3 en fractions de dénominateur 2 : \[ 3 = \dfrac{6}{2} \] Donc : \[ \dfrac{5}{2}x = \dfrac{7}{2} + \dfrac{6}{2} = \dfrac{13}{2} \] \[ x = \dfrac{13}{2} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{13 \times 2}{2 \times 5} = \dfrac{13}{5} = 2,6 \]
Conclusion : Le nombre dont l’image est \(\dfrac{7}{2}\) est \(x = \dfrac{13}{5}\) ou \(x = 2,6\).
Résumé des réponses :
\(f(4) = 7\)
\(f(-2) = -8\)
La préimage de 2 est \(2\)
Le nombre recherché est \(\dfrac{13}{5}\) ou \(2,6\)